代码随想录39——动态规划：62不同路径、63不同路径II

1.62不同路径

参考：代码随想录，62不同路径；力扣题目链接

1.1.题目

1.2.解答

机器人从(0 , 0) 位置出发，到(m - 1, n - 1)终点。按照动规五部曲来分析：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

2.确定递推公式

想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。

此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径；dp[i][j - 1]同理。

那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。

3.dp数组的初始化

如何初始化呢，首先dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条；那么dp[0][j]也同理。

所以初始化代码为：

for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
1
2

4.确定遍历顺序

这里要看一下递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从上到下遍历所有层、从左到右遍历每一层就可以了。

这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。

5.举例推导dp数组

如图所示：

代码：

int uniquePaths(int m, int n)
{
    // 1.构造dp数组
    vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));   

    // 2.初始化dp数组
    for(int i = 0; i < m; i++)
        dp[i][0] = 1;
    for(int j = 0; j < n; j++)
        dp[0][j] = 1;

    // 3.从上到下、从左到右遍历dp数组
    for(int i = 1; i < m; i++)
        for(int j = 1; j < n; j++)
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];  // 递推公式
    
    return dp[m-1][n-1];   // 返回最后结果
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

2.63不同路径II

参考：代码随想录，63不同路径II；力扣题目链接

2.1.题目

2.2.解答

这道题相对于62.不同路径就是有了障碍。

第一次接触这种题目的同学可能会有点懵，这有障碍了，应该怎么算呢？

62.不同路径中我们已经详细分析了没有障碍的情况，有障碍的话，其实就是标记对应的dp table（dp数组）保持初始值(0)就可以了。

注意：障碍物的地方dp数组保持是0的话，对计算到达当前障碍物的位置有几条路径来说是没有意义的。而是对于计算下一个位置的时候，比如当前障碍物的下一行对应位置，那么肯定不能从当前障碍物位置到达了，但是代码中我们还是要相加障碍物这个位置的结果，所以让它保持是0就没问题了。

动规五部曲：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

2.确定递推公式

递推公式和62.不同路径一样，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。

但这里需要注意一点，因为有了障碍，(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）。

所以代码为：

if (obstacleGrid[i][j] == 0) { // 当(i, j)没有障碍的时候，再推导dp[i][j]
    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
1
2
3

3.dp数组如何初始化

在62.不同路径不同路径中我们给出如下的初始化：

vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0)); // 初始值为0
for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
1
2
3

因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，所以dp[i][0]一定为1，dp[0][j]也同理。

但如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。如下图所示：

下标(0, j)的初始化情况同理。

所以本题初始化代码为：

vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) dp[0][j] = 1;
1
2
3

注意代码里for循环的终止条件，一旦遇到obstacleGrid[i][0] == 1的情况就停止dp[i][0]的赋值1的操作，dp[0][j]同理。

4.确定遍历顺序

从递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 中可以看出，一定是从左到右一层一层遍历，这样保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值。

代码如下：

for (int i = 1; i < m; i++) {
    for (int j = 1; j < n; j++) {
        if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
        dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
    }
}
1
2
3
4
5
6

5.举例推导dp数组
这里就不举例了。

最后给出代码如下，非常简单：

int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>> &obstacleGrid)
{
    // 1.定义dp数组
    int m = obstacleGrid.size();
    int n = obstacleGrid[0].size();
    vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));

    // 2.初始化dp数组，注意一旦遇到障碍物，直接不满足for循环，for循环就退出了，然后dp就保持原来的数值0了
    for(int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++)
        dp[i][0] = 1;
    for(int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++)
        dp[0][j] = 1;
    
    // 3.从上到下，从左到右遍历每一个位置
    for(int i = 1; i < m; i++)
        for(int j = 1; j < n; j++) 
            // 注意：当前位置是空地才计算路径条数，如果是障碍物，则直接保持原来的dp是0的数值
            if(obstacleGrid[i][j] == 0)   
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
    
    return dp[m-1][n-1];
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22