【数据结构】算法的时间复杂度和空间复杂度

算法的时间复杂度和空间复杂度

• 算法效率
• 时间复杂度
• 空间复杂度
• 常见的时间复杂度以及复杂度的oj练习

算法效率

算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需耗费时间资源和空间资源（内存）资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法运行的快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度，所以我们现在也不用太关心空间复杂度。

时间复杂度

时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上来说，是不能算出来的，只有你把你的程序放到机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？这样的话岂不是很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;
		}
	}

	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

操作次数为：

• N = 10 F(N) = 130
• N = 100 F(N) = 10210
• N = 1000 F(N) = 1002010

实际上我们计算时间复杂度的时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，这里用大O的渐进表示法

大O的渐进表示法

大O符号：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

通过上面我们会发现大O阶的渐进表示去掉了那些对结果影响不大的项，简介明了的表示出了执行次数。另外还有些算法的时间复杂度存在最好、平均、最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）

在实际中一般情况下关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

常见的时间复杂度计算举例

实例1：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

时间复杂度为：O(N)

实例2：

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

时间复杂度为：O(N+M)

实例3：

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

时间复杂度为：O(1)

实例4：

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );
1
2

这个函数我们之前没见过，具体功能如下：

所以时间复杂度为：O(1)

实例5：

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

可以看到这是一个等差数列：最后的时间复杂度为O(N^2)

实例6：

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid - 1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

时间复杂度是以2为低N的对数（经常允许写成O(logN)

实例7：

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;

	return Fac(N - 1) * N;
}
1
2
3
4
5
6
7
8

时间复杂度是O(N)

实例8：

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;

	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
1
2
3
4
5
6
7
8

实例9：

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度
long long Fib(size_t N) 
{
    if(N < 3) {
        return 1;
    }
    return FibK(N - 1) + Fib(N - 2);
}
1
2
3
4
5
6
7
8

所以时间复杂度为2^N

空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是一个算法在运行过程中临时占用了存储空间大小的量度

空间复杂度不是程序占用了多少字节的空间，因为这个也没有多大的意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本根实践复杂度类似，也使用了大O渐进表示法

注意：函数运行时所需要的栈空间（存储参数、局部变量、一些寄存器信息等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显示申请的额外空间来确定。

常见复杂度对比

复杂度的oj练习

消失的数字

思路一：

int missingNumber(int* nums, int numsSize){
 int sum1 = 0;
 int sum2 = 0;
 sum1 = (numsSize + 1) * numsSize / 2;
 for(int i = 0; i < numsSize; i ++) {
     sum2 += nums[i];
 }
 return sum1 - sum2;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9

思路二：

int missingNumber(int* nums, int numsSize){
 int x = 0;
 for(int i = 0; i < numsSize; i ++) {
     x ^= nums[i];
 }
 for(int i = 0; i < numsSize + 1; i ++) {
     x ^= i;
 }
 return x;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

这就像找单身狗那个题目

旋转数组OJ链接

思路一：

void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
   k %= numsSize;
   while(k --) {
       int x = nums[numsSize - 1];
       for(int i = numsSize - 1; i > 0; i --) {
           nums[i] = nums[i - 1];
       }
       nums[0] = x;
   }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

先将最后一个数字存下来，然后原来数组的所有数字往后移动一个位置，最后将刚才存下来的数字放回0下标的位置。但是这种方法会超时，所以采取新的方法。

思路二：

void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
   k %= numsSize;//可能存在k大于数组的长度的情况
   int arr[numsSize];
   int j = 0;
   for(int i = numsSize - k; i < numsSize; i ++) {
       arr[j ++] = nums[i];//将后k个数字都直接放在新数组的最前面
   }
   for(int i = 0; i < numsSize - k; i ++) {
       arr[j ++] = nums[i];//将新数组的前面的数字放在新数组的后面
   }
   for(int i = 0; i < numsSize; i ++) {
       nums[i] = arr[i];
   }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

这种办法是拿取空间换时间的方法。

思路三：

void reverse(int* arr, int begin, int end) {
   while(begin < end) {
       int tmp = arr[begin];
       arr[begin] = arr[end];
       arr[end] = tmp;
       begin ++;
       end --;
   }
}

void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
   k %= numsSize;
   reverse(nums, numsSize - k, numsSize - 1);
   reverse(nums, 0, numsSize - k - 1);
   reverse(nums, 0, numsSize - 1);
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

这种思路一般没做过的人想不到。