e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ + x n n ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n ! , ( − ∞ < x < + ∞ ) e^{\mathrm{x}}=1+\mathrm{x}+\frac{\mathrm{x}^{2}}{2 !}+\frac{\mathrm{x}^{3}}{3 !}+\cdots+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}!}+\cdots=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}}}{ \mathrm{n} !}, \quad(-\infty<\mathrm{x}<+\infty) ex=1+x+2!x2+3!x3+⋯+n!xn+⋯=n=0∑∞n!xn,(−∞<x<+∞)
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , ( − ∞ < x < + ∞ ) \sin \mathrm{x}=\mathrm{x}-\frac{\mathrm{x}^{3}}{3 !}+\frac{\mathrm{x}^{5}}{5 !}-\frac{\mathrm{x}^{7}}{7 !}+\cdots+\frac{(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}+1}}{(2 \mathrm{n}+1) !}+\cdots=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}+1}}{(2 \mathrm{n}+1) !}, \quad(-\infty<\mathrm{x}<+\infty) sinx=x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯+(2n+1)!(−1)nx2n+1+⋯=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nx2n+1,(−∞<x<+∞)
间接展开，由
sin
x
\sin x
sinx求导得：
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
⋯
+
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
,
(
−
∞
<
x
<
+
∞
)
\cos \mathrm{x}=1-\frac{\mathrm{x}^{2}}{2 !}+\frac{\mathrm{x}^{4}}{4 !}-\frac{\mathrm{x}^{6}}{6 !}+\cdots+\frac{(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}}}{(2 \mathrm{n}) !}+\cdots=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}}}{(2 \mathrm{n}) !}, \quad(-\infty<\mathrm{x}<+\infty)
cosx=1−2!x2+4!x4−6!x6+⋯+(2n)!(−1)nx2n+⋯=n=0∑∞(2n)!(−1)nx2n,(−∞<x<+∞)
e j θ = cos θ + j sin θ e^{j\theta}=\cos \theta+j\sin \theta ejθ=cosθ+jsinθ
e j θ = 1 + j θ − θ 2 2 ! − j θ 3 3 ! + θ 4 4 ! + . . . = ∑ n = 0 ∞ j n θ n n ! e^{j\theta}=1+j\theta -\frac{\theta^{2}}{2!}-\frac{j\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{4}}{4!}+...=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{j^{n}\theta^{n}}{n!} ejθ=1+jθ−2!θ2−3!jθ3+4!θ4+...=n=0∑∞n!jnθn
cos θ = ∑ ∞ n = 0 ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! j sin θ = ∑ ∞ n = 0 j ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \cos \theta=\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}}\frac{(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}}}{(2 \mathrm{n}) !}\quad\quad j\sin \theta=\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} \frac{j(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}+1}}{(2 \mathrm{n}+1) !} cosθ=n=0∑∞(2n)!(−1)nx2njsinθ=n=0∑∞(2n+1)!j(−1)nx2n+1
又因为
∑
∞
n
=
0
j
n
θ
n
n
!
=
{
(
−
1
)
n
θ
2
n
(
2
n
)
!
j
(
−
1
)
n
θ
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
!
\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}}\frac{j^{n}\theta^{n}}{n!}= \left\{
cos
θ
+
j
sin
θ
=
∑
n
=
0
∞
j
n
θ
n
n
!
\cos \theta+j\sin\theta=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{j^{n}\theta^{n}}{n!}
cosθ+jsinθ=n=0∑∞n!jnθn
所以欧拉公式得证