原文地址【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结3(二维随机变量及其分布)
F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=P\{X\le x, Y\le y\} F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}
性质：
F
(
+
∞
,
+
∞
)
=
1
F
(
−
∞
,
−
∞
)
=
F
(
x
,
−
∞
)
=
F
(
−
∞
,
y
)
=
0
P { X = x i } = p i ⋅ = ∑ j = 1 ∞ p i j P\{X=x_i\}=p_{i\cdot}=\sum\limits_{j=1}^{\infty}p_{ij} P{X=xi}=pi⋅=j=1∑∞pij
∑ i = 1 ∞ p i ⋅ = ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ p i j = 1 \sum\limits_{i=1}^{\infty}p_{i\cdot}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty}p_{ij}=1 i=1∑∞pi⋅=i=1∑∞j=1∑∞pij=1
P
1
(
x
)
=
∫
−
∞
+
∞
p
(
x
,
y
)
d
y
P
2
(
y
)
=
∫
−
∞
+
∞
p
(
x
,
y
)
d
x
注意： 不能由边缘分布求联合分布。
P { X = x i ∣ Y = y j } = P { X = x i , Y = y j } P { Y = y j } = p i j p ⋅ j P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i, Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}} P{X=xi∣Y=yj}=P{Y=yj}P{X=xi,Y=yj}=p⋅jpij
Y
=
y
:
F
X
∣
Y
(
x
∣
y
)
=
∫
−
∞
x
f
(
u
,
y
)
d
u
f
Y
(
y
)
,
f
X
∣
Y
(
x
∣
y
)
=
f
(
x
,
y
)
f
Y
(
y
)
X
=
x
:
F
Y
∣
X
(
y
∣
x
)
=
∫
−
∞
y
f
(
x
,
v
)
d
v
f
X
(
x
)
,
f
Y
∣
X
(
y
∣
x
)
=
f
(
x
,
y
)
f
X
(
x
)
f
(
x
,
y
)
=
f
Y
(
y
)
f
X
∣
Y
(
x
∣
y
)
=
f
X
(
x
)
f
Y
∣
X
(
y
∣
x
)
注意： 当 X 、 Y X、Y X、Y 相互独立时， F ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y) ，此时由边缘分布律可以唯一确定联合分布。
F
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
z
g
(
u
)
d
u
g
(
u
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
,
u
−
x
)
d
x
f
Z
(
z
)
=
g
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
,
z
−
x
)
d
x
若
X
,
Y
X,Y
X,Y 相互独立，则：
f
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
X
(
x
)
f
Y
(
z
−
x
)
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
f
X
(
z
−
y
)
f
Y
(
y
)
d
y
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy
fZ(z)=∫−∞+∞fX(x)fY(z−x)dx=∫−∞+∞fX(z−y)fY(y)dy
推广：
一般地，若 X i X_i Xi相互独立， Z = ∑ a i X i Z=\sum a_iX_i Z=∑aiXi
- X i ∼ N ( μ i , σ i 2 ) ⟹ Z ∼ N ( ∑ a i μ i , ∑ a i 2 σ i 2 ) X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2) \Longrightarrow Z \sim N(\sum a_i\mu_i,\sum a_i^2\sigma_i^2) Xi∼N(μi,σi2)⟹Z∼N(∑aiμi,∑ai2σi2)
- X i ∼ b ( n i , p ) ⟹ Z ∼ b ( ∑ n i , p ) X_i \sim b(n_i, p) \Longrightarrow Z \sim b(\sum n_i,p) Xi∼b(ni,p)⟹Z∼b(∑ni,p)
- X i ∼ π ( λ i ) ⟹ Z ∼ π ( ∑ λ i ) X_i \sim \pi(\lambda_i) \Longrightarrow Z \sim \pi(\sum \lambda_i) Xi∼π(λi)⟹Z∼π(∑λi)
M
=
max
(
X
,
Y
)
M=\max(X,Y)
M=max(X,Y)
F
M
(
z
)
=
P
{
M
≤
z
}
=
P
{
max
(
X
,
Y
)
≤
z
}
=
P
{
X
≤
z
,
Y
≤
z
}
=
F
X
(
z
)
F
Y
(
z
)
N
=
min
(
X
,
Y
)
N=\min(X,Y)
N=min(X,Y)
F
N
(
z
)
=
P
{
N
≤
z
}
=
1
−
P
{
N
>
z
}
=
1
−
P
{
min
(
X
,
Y
)
>
z
}
=
1
−
P
{
X
>
z
,
Y
>
z
}
=
1
−
[
1
−
F
X
(
z
)
]
[
1
−
F
Y
(
z
)
]
f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ ∣ y ∣ f ( z y , y ) d y f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|f(zy,y)dy fZ(z)=∫−∞+∞∣y∣f(zy,y)dy
若 X 、 Y X、Y X、Y相互独立， f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ ∣ y ∣ f X ( z y ) f Y ( y ) d y f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|f_X(zy)f_Y(y)dy fZ(z)=∫−∞+∞∣y∣fX(zy)fY(y)dy
f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( z + y , y ) d y f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z+y, y)dy fZ(z)=∫−∞+∞f(z+y,y)dy
f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z x ) 1 ∣ x ∣ d x = ∫ − ∞ + ∞ f ( z y , y ) 1 ∣ y ∣ d y f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,\frac{z}{x})\frac{1}{|x|}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\frac{z}{y},y)\frac{1}{|y|}dy fZ(z)=∫−∞+∞f(x,xz)∣x∣1dx=∫−∞+∞f(yz,y)∣y∣1dy
总结： 二维随机变量函数的分布，一般解题步骤如下：
- 先求 Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) Z=g(X,Y) 的分布函数 F Z ( z ) F_Z(z) FZ(z)
- f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) f_Z(z)=F'_Z(z) fZ(z)=FZ′(z)