高数_第6章无穷级数_幂级数之__阿贝尔定理

阿贝尔定理：

如果幂级数  在 点  x = x₀(x₀≠0)处收敛，  则对于适合不等式 |x| < |x₀|的一切x, 都有幂级数   在点 x 处绝对收敛；   

反之，如果幂级数 在点 x = x₀ (x₀≠0)处发散， 则对于适合不等式 |x| > |x₀|的一切 x, 都有幂级数  在点 x发散。  

 

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这个定理告诉我们， 若存在x₀ ≠ 0, 使得幂级数 在点x₀ 处收敛， 则原幂级数在开区间(-|x₀|,  |x₀|)内处处绝对收敛；

若存在x₁, 使得原幂级数在点x₁处发散， 则原幂级数 在(- ∞, -|x₁|) ∪ (|x₁|,  +∞)内处处发散。

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容易看出，对于这样的幂级数， 必然存在一个正数 R>0, 使得对于满足|x| < R的一切x,  都有该幂级数绝对收敛， 从而该幂级数收敛； 对于满足 |x| >R的一切x, 都有该幂级数发散； 对于 x = ±R这两点， 幂级数的敛散性不能确定， 需要具体分析。

有以下定义：  定义R为原幂级数的收敛半径，  称开区间(-R,  R) 为该幂级数的收敛区间。

可以看到，区间的定义就是一个开区间。