算法导论习题—二叉搜索树、红黑树、区间树

1.二叉搜索树:

设$T$是一棵二叉搜索树，其关键字互不相同;设$x$是一个叶结点，$y$为其父结点。证明:$y.key$或者是$T$树中大于$x.key$的最小关键字，或者是$T$树中小于$x.key$的最大关键字。

$1.$当$x$是$y$的左孩子结点时：
假设在树$T$中存在一个结点$z$满足$z.key>x.key\&\&z.key<y.key$，由于$T$是一棵关键字互不相同的二叉搜索树，所以结点$z$只能是结点$y$的左孩子结点，或者是$y$的父亲结点且结点$y$是结点$z$的右孩子结点。
对上述两种情况，若结点$z$是结点$y$的左孩子结点，由于$x$是$y$的左孩子结点且$x$是一个叶结点，所以此时结点$z$就是结点$x$，与假设$z.key>x.key$相矛盾，所以不成立；若$z$是$y$的父亲结点且结点$y$是$z$的右孩子结点，此时$x$和$y$都在结点$z$的右子树中，所以此时虽然$z.key<y.key$但$x.key>z.key$，与假设$z.key>x.key$相矛盾，所以当$x$是$y$的左孩子结点时：$y.key$是$T$树中大于$x.key$的最小关键字。
$2.$当$x$是$y$的右孩子结点时：
同理，结点$z$只能是结点$y$的右孩子结点，或者是$y$的父亲结点且结点$y$是结点$z$的左孩子结点。若结点$z$是结点$y$的右孩子结点，则此时结点$z$就是结点$x$，与假设$z.key<x.key$相矛盾，所以不成立；若$z$是$y$的父亲结点且结点$y$是$z$的左孩子结点，此时$x.key<z.key$，与假设$z.key<x.key$相矛盾，所以当$x$是$y$的右孩子结点时：$y.key$是$T$树中小于$x.key$的最大关键字。
综上，$y.key$或者是$T$树中大于$x.key$的最小关键字，或者是$T$树中小于$x.key$的最大关键字。

2.红黑树:

$(a)$将关键字$41,38,31,12,19,8$连续地插入一棵初始为空的红黑树之后，试画出该结果树。
$(b)$对于$(a)$中得到的红黑树，依次删除$8,12,19$试画出每次删除操作后的红黑树。

$(a)$

$(b)$

3.区间树:

假设我们希望记录一个区间集合的最大重叠点，即被最多数目区间所覆盖的那个点。
$(a)$证明:在最大重叠点中，一定存在一个点是其中一个区间的端点。
$(b)$设计一个数据结构，使得它能够有效地支持$INTERVAL-INSERT、INTERVAL-DELETE$以及返回最大重叠点的$FIND-POM$操作。

$(a)$
假设取得一个不在区间端点上的最大重叠点，对于这个点，其所在的区间的左端点或右端点中，必定存在一个端点与这个最大重叠点有着相同的区间数，所以，在最大重叠点中，一定存在一个点是其中一个区间的端点。
$(b)$
使用红黑树存储各个区间的端点值，对于每个结点$x$有附加信息$p(x)、v(x)$，若结点为一个左端点，则$p(x)=1$，否则$p(x)=-1$，$v(x)$存储以$x$为根结点的所有子结点$p$值与$x.p$与的和。
$$v[x]=v[left[x]]+p[x]+v[right[x]]$$

$INTERVAL-INSERT$：
只需将执行插入操作时经过的所有结点$v$值加上所插入结点的$p$值，其余操作与红黑树的插入操作相同。
$INTERVAL-DELETE$：
只需将执行删除操作时经过的所有结点$v$值减去被删除结点的$p$值，其余操作与红黑树的删除操作相同。
$FIND-POM$:
给定$\frac{n}{2}$个区间，那么总共有$n$个端点，将这$n$个端点按升序排列，若当前是点$i$，则如果在$i$之前出现的区间，只出现了左端点，还没有出现右端点，那么说明该区间与$i$所在区间重叠。如果在$i$之前该区间左右端点都出现过了，那就不会与$i$所在区间重叠，即左端点$p=+1$,右端点$p=-1$,相加为$0$。
令$s(i,j)=p(i)+p(i+1)+...+p(j)$，即从点$i$到点$j$的$p$值之和，则根据上述内容可知$s(i,j)$就是$j$点的重叠区间数。
对于结点$x$，记以$x$为根结点的子树中的最小端点值为$l(x)$，最大端点值为$r(x)$，为$x$结点扩张一个额外信息 m [ x ] = m a x { s ( l ( x ) , i ) } , for i in { l ( x ) , . . . , r ( x ) } m[x]=max\{\text{s}(l(x),i)\}, \text{for i in}\{l(x),...,r(x)\} m[x]=max{s(l(x),i)},for i in{l(x),...,r(x)}，则$m[x]$就是以$x$为根节点的树中最大重叠点的重叠数。
再在红黑树中通过分治找出对应的$m[x]$，最大重叠点存在三种情况:$1.$就是根节点$2.$在左子树中$3.$在右子树中，在左右子树中递归调用求$m[x]$的方法。
m [ x ] = { m [ l e f t [ x ] ] v [ l e f t [ x ] ] + p [ x ] v [ l e f t [ x ] ] + p [ x ] + m [ r i g h t [ x ] m[x]=\left\{

\right. m[x]=⎩ ⎨ ⎧​​m[left[x]]v[left[x]]+p[x]v[left[x]]+p[x]+m[right[x]​