【DS】树和二叉树的理论知识梳理

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一. 树形结构

1. 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合; 把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点:

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点 ;
• 除根结点外，其余结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 ;
• 树是递归定义的 , 一棵树 (空树除外) 是由m棵子树构成的 (m >= 0) .

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构 .

2. 关于树的一些术语

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6

树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

下面的几个概念相对上面来说就没那么重要了,知道一下就行

非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点被称作该结点的祖先结点；如上图：P的祖先节点为J, E, A; A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：A所有结点都是A的子孙

有序树和无序树： 若树中各结点的子树是按照一定的次序从左向右安排的，且相对次序是不能随意变换的，则称为有序树，否则称为无序树，不指明是否是有序树，则一般默认是有序树。

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

3. 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法， 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的最常用的孩子表示法（二叉树用的最多），孩子兄弟表示法（非二叉树用的较多）。

• 孩子表示法:

一个结点中有一个数据域和一些指针域（数目不确定，二叉树是两个，三叉树是三个，以此类推），这些指针都指向孩子结点

• 孩子兄弟表示法

就是一个结点中有一个数据域和两个指针域，一个指针指向左边的孩子结点，另一个指针指向右边的兄弟结点

class TreeNode {
    public char val; //节点中存储的数据
    public TreeNode firstChild; //第一个孩子引用
    public TreeNode nextBrother; //下一个兄弟引用
    public TreeNode(char val) {
        this.val = val;
    }
}
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4. 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

二. 二叉树

1. 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2. 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2 ^ k - 1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一 一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3. 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2 ^ (i-1) (i>0)个结点;
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2 ^ k-1(k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 总结点个数为奇数, 度为1的节点个数有0个; 总结点个数为偶数, 度为1的节点个数有1个;
5. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log(n+1)上取整
6. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，则无双亲结点; 若从1开始编号，则它的双亲结点的编号为( i / 2 );
• 若2i+1
• 若2i+2

小试牛刀:

4. 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储;

二叉树的顺序存储，指的是使用顺序表存储二叉树; 需要注意的是，顺序存储只适用于完全二叉树; 完全二叉树的顺序存储，仅需从根节点开始，按照层次依次将树中节点存储到数组即可;

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent; // 当前节点的根节点
}
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