支配树🌴学习笔记

支配树：在 O(nlogn) 时间内求出一张有向图中能切断一个点到起点的所有路径的点

具体地，先定义一个起点 S（要求它能到达所有点），对于图中一个点 u，存在一些点 v，使得删去某个 v 后 S 无法走到 u，这些点 v 所组成的集合就是支配树上 u 到根的路径。特别地，u 的父亲就是离它最近的支配点。

一个很重要的性质：对于任意点 u，如果 x 支配 u 且 y 支配 u，则 x 与 y 之间存在支配关系。
证明显然。由此不难推出支配关系形成一棵树。

求支配树的方法：

1. DAG 上求支配树

按照拓扑序枚举所有点，对于一个点 u，所有能到达它的点的支配树已经求出， 于是我们枚举 u 的入点 v，找出它们在已求出的支配树上的 LCA，即为 u 的支配点（证明感性理解），然后将 u 加入支配树。

注意我们需要“动态”求这个 LCA，这问题不大，我们只需要每找到一个 u 的父亲时就立即更新它的倍增数组 fa[u][i] 即可。时间复杂度就 O(nlogn)。

2. 一般图上求支配树

我们发现在 DAG 上很好做，考虑将一般图鼓捣成一个 DAG 且支配关系不变。

用著名的 Tarjan 思想，我们先搜出一棵 dfs 树再说。立即发现一个点 u 的支配点一定在它的dfs树的祖先中。

接下来，引入一个大家初学 Tarjan 就熟知的定理：对于有向图的 dfs 树而言，只存在前向边与反向边，不存在横叉边。
即只有祖先向孙子连边或孙子向祖先连边。
（注：显然这个结论是错的，当时我在写什么？）

同样 DAG 部分，这次我们按dfs序逆序对每个点 u 考虑它的所有入点 v，维护一个“半支配点”semiu。
分两种情况：

1. v 为 u 的祖先。
   此时 v 能一步走到 u，所以从 v 到 u 的路径上所有其它点都不可能成为 u 的支配点（否则压根切不断），所以 u 的真实支配点应该在 v 上方，故用 v 更新 u 的半支配点。（这里的更新指取 dfs 序最小的作为答案）
2. v 为 u 的子孙。
   此时我们考虑 u 到 v 的路径上所有点 w 以及它们的半支配点 semiw，发现如果我们割的点在任意一个 semiw 下方，那么从根就可以走路径 S→semiw→w→v→u 到达 u，矛盾。因此用所有 w 的半支配点 semiw 更新 u 的半支配点 semiu。
   画个图理解一下：
   

更新完毕后，我们就得到了每个点 u 的“半支配点”。“半支配点”的本质意义在于，u 的真实支配点一定在它的半支配点到根的路径上。因此只保留 dfs 树上的边以及新加入的 semiu→u 的边，整张图的支配关系不变。

于是我们只保留原 dfs 树中的边，将其它边统统删掉，然后对于每个 u 加入边 semiu→u，在这个新的只有 2(n−1) 条边的 DAG 上跑做法 1 即可。

现在只剩下怎么快速对一个点 v 找出 u 到 v 的路径上所有 w 的 semiw 的 dfs 序最小值的问题了。

考虑维护每个点 v 已访问的祖先中 semi 的最小值 mnv，查询时恰好就是查询 v 的 mnv（因为 v 的祖先中第一个未访问的点就是 u）。用并查集维护，每次访问完一个节点 u 就被其父亲 fau 合并即可。时间复杂度 O(nα(n)) 或 O(nlogn)（我们都懒得写按秩合并对吧）。

总时间复杂度 O(nlogn)。

上一个封装好的代码：（注意代码中 mnu 直接写成了 semi[u]，所以必须在访问完一个 u 之后立即将其加入新图中）

洛谷 P5180 【模板】支配树

Code

#include 
#define For(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Rev(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define Fin(file) freopen(file,"r",stdin)
#define Fout(file) freopen(file,"w",stdout)
using namespace std;
const int N=2e5+5; typedef long long ll;
class DominatorTree{
    int n,dfn[N],raw[N],dfscnt,semi[N],fa[N],pa[N],ffa[N][18],dep[N],in[N];
    vector<int> to[N],from[N],cp[N],cv[N];
    void dfs(int u){
        raw[dfn[u]=++dfscnt]=u; for(int v:to[u]) if(!dfn[v]) { cp[u].push_back(v); pa[v]=u; dfs(v); }
    }
    int getfa(int x){
        if(x!=fa[x]) { int t=getfa(fa[x]); semi[x]=min(semi[x],semi[fa[x]]); fa[x]=t; } return fa[x];
    }
    int lca(int x,int y){
        if(dep[x]swap(x,y);
        Rev(i,17,0) if(dep[ffa[x][i]]>=dep[y]) x=ffa[x][i];
        if(x==y) return x;
        Rev(i,17,0) if(ffa[x][i]!=ffa[y][i]) { x=ffa[x][i]; y=ffa[y][i]; }
        return ffa[x][0];
    }
public:
    void init(int _n) { n=_n; }
    void add_edge(int x,int y) { to[x].push_back(y); from[y].push_back(x); }
    void solve(int* ans){
        dfs(1); assert(dfscnt==n);
        For(i,1,n) { fa[i]=i; semi[i]=dfn[i]; }
        Rev(i,n,2){
            int u=raw[i]; for(int w:from[u]) { getfa(w); semi[u]=min(semi[u],semi[w]); }
            fa[u]=pa[u]; cp[raw[semi[u]]].push_back(u); // Must do it right now!
        }
        For(u,1,n) for(int v:cp[u]) { cv[v].push_back(u); in[v]++; }
        static int q[N],h,t; h=t=0; q[t++]=1;
        while(hint u=q[h++]; ans[u]=0;
            for(int v:cv[u]) if(ans[u]==0) ans[u]=v; else ans[u]=lca(ans[u],v);
            dep[u]=dep[ffa[u][0]=ans[u]]+1; For(i,1,17) ffa[u][i]=ffa[ffa[u][i-1]][i-1];
            for(int v:cp[u]) if((--in[v])==0) q[t++]=v;
        }
    }
}T;
int n,m,ans[N],siz[N]; vector<int> son[N];
void dfs(int u) { siz[u]=1; for(int v:son[u]) { dfs(v); siz[u]+=siz[v]; } }
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    cin>>n>>m; T.init(n); For(i,1,m) { int x,y; cin>>x>>y; T.add_edge(x,y); }  T.solve(ans);
    // For(i,1,n) cerr<
    For(i,2,n) son[ans[i]].push_back(i);
    dfs(1); For(i,1,n) cout<' '; cout<"Time = "<<clock()<<" ms\n";
    return 0;
}

// START TYPING IF YOU DON'T KNOW WHAT TO DO