现代信号处理——平稳随机信号的功率谱密度

一、相关函数的z变换

平稳随机序列是非周期函数，且是能量无限信号，无法直接利用傅里叶变换进行分析。

由前面对自相关函数和自协方差函数的讨论可知：

 随机信号的自相关和自协方差收敛了以后，便满足了能够去做傅里叶变换的前提条件，去分析它的频谱

当μx=0时，rxx(m)是收敛序列，其z变换用Pxx(z)表示如下：

 二、平稳随机信号的功率密度谱

 随机信号的功率做傅里叶变换得到功率谱

 

 平稳随机信号功率谱的主要性质

1、功率谱是非负实函数：

2、实随机信号的功率谱是偶函数：

 

类似定义平稳随机信号的互功率谱密度函数，简称互功率谱 

 

平稳随机信号互功率谱的主要性质

1、互功率谱的共轭对称性：

 

互功率谱不等式（柯西-施瓦兹不等式）：

 

 

 

三、白噪声信号的功率谱

白噪声：功率谱密度函数为常数的噪声，其功率谱密度为：

 

  白噪声的自相关函数为：

 

傅里叶变换的本质是：

 

不同时刻的白噪声取值互不相关 

 

 

四、功率谱的分类

1、平谱(白噪声谱）：一个平稳的随机序列w(n)，如果其功率谱Pw(e^jw)在|w|≤π的范围内始终为一常数。

白噪声序列在任意两个不同的时刻是不相关的。 

2、线谱：由一个或多个正弦信号所组成的信号的功率谱。若x(n)有L个正弦组成，即

其中，φk是均匀分布的随机变量。可以求出 

3、ARMA谱：既有峰点又有谷点的连续谱，这样的谱可以由一个ARMA模型来表征。 

 

参考视频：

https://www.bilibili.com/video/BV1wS4y1D7ng?p=2&vd_source=77c874a500ef21df351103560dada737