通信原理学习笔记3-1：数字通信系统概述（模数转换、时频域采样定理）

数字通信系统模型

数字通信系统模型如下：

各部分功能：

1. 信源输入：输入原始基带信号（可以是模拟信号）
2. 信源编码：采样+量化+编码（模数转换+压缩冗余）
3. 信道编码：保证传输无差错，可以是自带校验信息的FEC码，也可以是ARQ重传，也可以两者结合
   交织：也是为了降低差错，防止传输中的连续差错导致FEC无法纠错，而将错误位置随机化
4. 脉冲成形：数字01串转为电路波形，从基带数字信号到基带IQ两路模拟信号（升余弦滚降滤波器，波形类似sinc）
5. 调制：这里仅指基带信号到射频信号的上变频

也有数字调制：ASK/FSK/PSK等，包含上面的4、5两步，即数字到模拟+上变频（直接从数字信号到射频信号）
目前使用最广的是PSK和QAM，QAM是幅度相位联合调制，具体通过IQ调制来实现（IQ两路传输复数星座点，可得到QAM已调信号）

6. 天线发射 ：注意天线方向性与极化等

数字通信系统的三大主要功能模块

• 对于无线模拟通信系统，信源的模拟信号经过模拟调制（主要就是一个“上变频”的过程）后发射
• 对于无线数字通信系统，信源模拟信号先模数转换（即PCM的采样+量化+编码），并对数字信号进行数字调制（数字序列转化为频带模拟信号，即比特映射+脉冲成形+上变频），最后发射

可见，我们也可以将数字通信系统分为三个主要模块：

1. 信源默认为数字信源，但是如果是模拟信源，还需要模数转换（包含采样、量化、编码，未画出）
2. 数字信源的比特信息经过信源编码、信道编码和交织处理，提高了有效性和可靠性
3. 然后进行数字调制（即：从数字信号到频带模拟波形），包括比特映射、脉冲成形、上变频三个步骤（其中比特映射是IQ调制带来的，上图未画出）

下面将依次对模数转换、信源信道编码、数字调制做简介

模 / 数转换

模数转换A / D：输入模拟信号，输出数字信号（实际中就是01比特串）

理论上，模 / 数转换就是：采样（时间离散化）+量化（电平数值离散化）+编码（用二进制表示电平），最终得到各个采样点处电平对应的二进制数值

时域采样定理

基带信号，采样需满足Nyquist采样定理$f_s>2f_H$

以$2f_H$为界，采样分为欠采样和过采样，基带信号必须过采样，否则频谱混叠

而频带信号只需满足带通采样定理（本质上也是以频谱不混叠为原则）：相对而言放低采样率要求（欠采样），只需满足$$\frac{2f_H}{m}\le f_s\le \frac{2f_L}{m-1},其中1\le m\le [f_H/B],B为信号带宽$$

冲激采样和矩形脉冲采样

时域相乘对应频域卷积，则：

• 如果用理想冲激串采样，则频谱就是简单的做周期搬移
• 如果用有一定宽度的周期矩形脉冲采样（周期信号的离散频谱如下），则原频谱周期搬移的同时用sic函数加权
  
  实际中如何做到理想冲激采样？
  实际不需要产生（也无法产生）无穷大的冲激函数，仅仅在采样保持电路断开的前一刻采样，保存这个采样值，并进行A/D转化即可。
  由于冲激函数是已知的，我们只要知道了采样值，在理论上就能得到 [采样结果=采样值 x 冲激函数]，这个关系在后续处理中考虑进来即可，“佛在心中”，不需要具体实现

频域采样定理

根据时频域的对偶性，我们得到频域采样定理

• 若$x(t)$的持续时间有限，为$t_m$；
  对频谱$X(\omega )$进行等间隔采样，只要采样间隔满足$\Delta f=\frac{1}{2t_s}<\frac{1}{2t_m}或\Delta \omega <\frac{\pi }{t_m}$，则可以由采样结果$X_s(\omega )$无失真的恢复原信号，这对应于时域波形以$2t_s$为周期进行周期化

原理：若原信号$x(t)$的基频为${\omega }_0=\pi /t_m$，时域上对$x(t)$以$2t_m$为周期进行延拓，结果记为$x_p(t)$
那么，周期信号$x_p(t)$的傅里叶系数$c_n=2t_{m}X(\omega ){|}_{\omega =n{\omega }_0}$
可见，只需要（直接/间接）获得$X_s(\omega )$在各个$\omega =n{\omega }_0$处的采样值，i.e. 对频谱做$\Delta \omega <\frac{\pi }{t_m}$的采样，就能得到$c_n$，从而就能重建周期信号$x_p(t)$，并获得原信号$x(t)$

模 / 数转换的具体实现

实际中，上述三个步骤由模 / 数转换器ADC直接完成：

量化：由电压比较器比较输入电压$V_I$和各个等级的参考电压，得到电压比较器的输出
采样：就是在每个时钟上升沿，用D触发器存储各个电压比较器的输出
编码：根据电压比较器的输出状态，使用优先编码器输出当前电平对应的二进制数值（优先编码器：只对同时输入的几个信号中，优先权最高的一个进行编码，也就是说只关注输入电压最接近的参考电压）

相应的，还有数 / 模转换器DAC，就是输入二进制01数值，输出对应幅值的模拟电平

注意，DAC和ADC不是对称的：

• 前面的ADC包含了采样、量化、编码三步
• 而DAC仅仅是还原了“量化编码”两步，仅仅是得到了时间上离散的电平；
  若需要还原模拟波形，还要通过后续的理想低通滤波器进行内插重建