tsne 学习使用

1. 数据一般都会服从某种分布，希望可以将数据根据某种规则来映射到这个分布上
2. 高维度不同点之间的距离是一个分布，当两类样本比较相近时，欧式距离会把偏差磨平，导致最终发现不了差别。即维度爆炸导致距离度量出现问题。

1. 1维的世界最多有两个点两两距离相同。2维的世界最多有3个点（等边三角形），3维有4个。

2. 降维：

   1. 最简单的是投影：沿着一个轴把一个方向数据变化消除。每次投影可以减少一个维度。

   2. PCA（主成分分析）：

      1. 一个正交化线性变换，把数据变换到一个新的坐标系统中，使得数据的任何投影的第一大方差在第一个坐标（第一主成分）上，第二大方差在第二个坐标（第二主成分）上。

      2. PCA被称为线性降维方法，因为对数据进行了线性变换。

   3. LLE：局部线性嵌入算法，是一种非线性算法，其认为每一个数据点都可以由其近邻点的线性加权组合构造得到。
3. 谱方法：涉及矩阵特征向量的方法。
4. 线性方法计算效率高，非线性算法对于大规模数据需要考虑随机游走等优化，否则计算代价非常高。
5. 旋转、平移、翻转不会改变数据本身的结构。

6. 欧几里得距离：平坦空间的最短距离。

7. 广义的正方体：

   1. 特定：相邻的点仅有一个分量不同，可以从一个点出发不重复沿着边走边所有的点。

   2. 计算每个点到其他点的距离的方差，发现方差随着维度增多缓慢减小。

   3. 一个分布的方差有数据分布的“形状”决定，越弥散的分布有越大的方差。方差不变意味着分布形状基本不变。

8. “维数灾难”：随着维数增大，边之间的“分辨率“会降低。

9. 由中心极限定理知，对于独立同分布的数据，数据样本越多则越能精确地估计数据的均值。该结论对于方差比、均值差等也成立。

10. 数据很少以完全对称的方式分布，如：50维的轴对齐高斯分布，其中坐标i的标准偏差为1/i，即看到的是一个长椭圆形的点云。

11. 降维肯定会丧失信息，但核心让距离近的点更近，距离远的点更远，即以找出各类别群的gap为主。

12. 降维即找到embedding，从高维空间中找到可以很好地表征低维度空间的嵌入。

    1. 找嵌入常见方法：autoencoder

    2. 降维常用的方法：

       1. PCA，旋转找到能表示方差最大的线性成分。因为一般方差更大，则特征在这个维度隐藏的信息更多，即这个维度有更多的信息帮助表征。

       2. 基于距离相似的E：MDS：将原空间中的边和当前空间中的边两两计算差的平方，所有求和之后除以原空间中的边的平方的和。    

       3. Isomap：将距离推广到了“测地距离”。“测地距离”：两点之间最短路径长度（离散空间）或某种加权的测度（连续的空间）。

       4. 学习思想：sammon mapping:试图靠拢相邻点的做法失败了，是否可以考虑推远不相邻的点。

       5. 使用knn算法来确定保留每个点最近的k个边。

          1. 由于knn仅选择最短的几个边，即使各个边长度差距不大，也增加了区分度。

          2. 引入knn将问题变成了黑盒：k对于数据本身的意义是什么？是否选中？

          3. 改进：用概率分布取代“是否”，这类方法称为SNE（随机领居嵌入）

             1. 将距离转换为概率分布，概率分布中概率较大的表示更有可能“靠在一起”。

             2. 将有限个连续数量值转换为概率分布：

                1. 先将一个连续的概率分布的密度函数作用到数值上，得到一些离散的概率值、

                2. 归一化概率值：得到一个标准的离散的概率分布。是离散分布的一种近似。

                3. 评测原来和现在概率的“相似性”

                4. 对于有重叠的概率分布，可以使用KL散度来表征相似。

13. SNE：
    1. 将原始高维空间中的每个点相关的距离（邻居距离）转化为概率分布。
       1. 通过控制分布的形状来控制距离的区分度。
       2. 选择均值为0的高斯分布（正态分布）：高斯分布在方差相等的分布中信息熵最大。在分布未知的情况下根据中心极限定理选择高斯分布，因为它是对未知分布的良好近似。
       3. 用信息熵评价分布的区分度，熵越高则区分度越低。信息熵是关于方差的单调递增函数：方差越小则分布越尖锐，区分度越高，否则分布越平坦，区分度越低。
    2. 将原始高维空间中邻居距离转化为所有边距离的概率分布。
       1. 上方得到的仅仅是关于每个点的邻居距离的概率分布（n个点的数据就有n个分布），目的是控制距离的显著程度。
       2. 将这些分布排列成矩阵，每行都是一个归一化的概率分布。
       3. 将这n个独立的分布转换为关于所有边的分布。
          1. 进行归一化：因为得到的是n个已经归一化的分布，为使得总体分布归一化，只需将矩阵中的每一项除以n即可。
          2. 对称化：g_(i,j)和g(j,i)对应同一距离，应该相同。所以设置为各取一半再相加作为新的值。
          3. 至此便把距离分布转换为了概率分布。
    3. 将低维度维空间中距离转化为概率分布：
       1. 低维度中不应使用带参数的概率密度    
       2. 传统的SNE使用的是N（0,1）(标准正态分布)，但使用自由度为1的（0均值）t分布效果更好，对应的方法为t-SNE.

1. 计算某一个点到其他所有点的距离，然后映射到t分布上
2. t-SNE的降维关键：把高维度的数据点之间的距离转化为高斯分布概率。（把一个点到各个点的距离用高斯分布的形式表示，并进行归一化。近的点得到的概率大，越远的点得到的概率越小。）
3. 高维度相似度用高斯，低维度用t分布，然后设置一个惩罚函数，就实现了x降低维度但是保留一定局部特征的方法。
4. 使用KL散度作为惩罚函数，保证在高维度相似度高的点在低维度相似度也高。（因为：分布相似就会导致特性相似）
5. 降维必然带来信息损失，t-SNE保留局部信息必然牺牲全局信息，而因为t分布比 高斯分布更加长尾，可以一定程度减少这种损失。
6. tsne的原理要点：
   1. 将原始高维空间中的每个点相关的距离（邻居距离）转化为概率分布
   2. 将原始高维空间中邻居距离转化为所有边距离的概率分布
   3. 将低维度维空间中距离转化为概率分布
   4. 优化：
      1.  t-SNE的优化目标是非凸的。
      2. 优化目标是最小化KL散度。

7. 使用点之间的距离（如欧式距离）代替点的坐标：

   1. 距离不受旋转和平移的影响，并且之和点数有关)。

   2. 各点间的距离完整保留空间结构，且去除不必要的转动和平移翻转。且距离本身不直接包含维度信息，不会受到冗余维度的影响。

8. t-SNE属于流形学习范畴：
   1. 流形学习：    
      1. 各个样本在高维的空间表示，均匀分布在一个流行（可理解为空间中一类样本的“形状”）中。
      2. 高维度的流形或形状可以有低维度进行折叠或变换得到的。
   2. 提出流形学习的目的：学到低维度空间到高维空间的变换，然后表征出各个高维空间中样本的特点。

1. 学生分布。    
2. 自由度为1的密度函数：
3. t（x）=1/(π（1+x^2）)，比标准正态分布更加平缓。
4. t分布效果更好的原因：正态分布用于估计方差为δ的数据的均值，t分布用于估计方差未知的数据的平均值。即t分布低位数据没有先验方差的情况，而标准分布假定了方差为1。

t-SNE图比任何线性投影都更精确。

可使用t-SNE判断是否是真实的随机数据：

1. 通过不断改变perplexity画图，如果（2,5,30,50,100）取值得到的结果都是无法区分的）

2. 点云是随机生成的，它没有统计上有趣的簇：那些“簇”没有意义。低perplexity值通常会导致这种分布。将这些团块识别为随机噪声是读取t-SNE图的重要部分。

1. perplexity：
   1. 控制的是尺度。
   2. 因为采用了高斯分布，所以知道大约有68%的数据集在一个标准差δ内，即大约在一个perplexity的范围内。
   3. perplexity极小时，在计算邻居距离的过程中，刚好可以覆盖最小尺度的“邻居”。然后再执行全局的归一化和对称化。
   4. perplexity用于平衡对数据的局部和全局的注意力，该参数可看做对于每个点的邻居数量的估计。
   5. 可以通过分析不同的perplexity来从t-SNE中获取更多的信息。
   6. perplexity需要比点的数量小得多。
   7. 对于足够高的perplexity值，细长形状易于阅读。在低复杂度时，局部效应和无意义的“聚集”占据中心位置。
   9. 可通过微调perplexity来观察全局几何。
      1. 原因：现实世界的数据可能有多个具有不同元素数量的簇。可能没有一个perplexity值可以捕捉所有簇群的距离，但复杂度是一个全局参数。
      2. t-SNE图中分离良好的集群之间的距离可能毫无意义。
2. step的设置也很重要，最好是在结果稳定之后再停止。