【动态规划】leetcode 343. 整数拆分

343. 整数拆分

题目描述

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例1：

输入： n = 2
输出： 1
解释： 2 = 1 + 1, 1 * 1 = 1。

示例2：

输入： n = 10
输出： 36
解释： 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示

• $2<=n<=58$

方法：动态规划

解题思路

1. 确定 dp 数组以及下标的含义
   分拆数字 i，可以得到的最大乘积为 dp[i]。

2. 确定递推公式
   可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？

   其实可以从 1 遍历 j，然后有两种渠道得到 dp[i].

   一个是 j * (i - j) 直接相乘。

   一个是 j * dp[i - j]，相当于是拆分 (i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想 dp 数组的定义。

   也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而 j * dp[i - j] 是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

   所以，递推公式为

   dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
   1

3. dp 数组如何初始化
   dp[0] 和 dp[1] 定义了没有意义。
   dp[2] = 1;

4. 确定遍历顺序
   dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历 i 一定是从前向后遍历，先有 dp[i - j] 再有 dp[i]。

5. 举例推导 dp 数组
   拿示例 2：n = 10

   下标 i	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   dp[i]	1	2	4	6	9	12	18	27	36

代码

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j < i - 1; j++)
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
        return dp[n];
    }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n\times n)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。