线性代数学习笔记4-4：求解非齐次线性方程组Ax=b，从秩的角度看方程

$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$与$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的区别在于：

• 对于齐次线性方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$，无论左侧系数矩阵如何做行变换，右侧的系数始终为$0$；
  $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$必定有解，只是解空间可能有大有小（唯一零解？无穷解？）
• 然而对于$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，消元时，右侧的$\mathbf{b}$和左侧系数矩阵$\mathbf{A}$一同变换，我们需要考虑增广矩阵 [ A b ]
  [Ab]" role="presentation" style="position: relative;">[Ab]$$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathit{b}\end{array}\right]$$
  [A​b​]
  $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$可能无解，也可能有解；有解可能是唯一解/无穷解

$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解，一定要保证：一旦左侧某几行的线性组合为全0，右侧的系数也必须为0（消元后方程始终满足"0=0"的约束）
例如， [ A b ] = [ 1 2 2 2 b 1 2 4 6 8 b 2 3 6 8 10 b 3 ]

= [A​b​]=⎣ ⎡​123​246​268​2810​b1​b2​b3​​⎦ ⎤​，消元后得到 [ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 b 1 0 0 0 0 b 3 − b 2 − b 1 ]

[1222b10024b2−2b10000b3−b2−b1]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢100200220240b1b2−2b1b3−b2−b1⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 2& b_1\\ 0& 0& 2& 4& b_2-2b_1\\ 0& 0& 0& 0& b_3-b_2-b_1\end{array}\right]$$

⎣ ⎡​100​200​220​240​b1​b2​−2b1​b3​−b2​−b1​​⎦ ⎤​，则必须满足$b_3-b_2-b_1=0$

$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解的条件

• 对于增广矩阵 [ A b ]
  [Ab]" role="presentation" style="position: relative;">[Ab]$$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathit{b}\end{array}\right]$$
  [A​b​]，若$\mathbf{A}$某几行的线性组合得到全0行，对应的$\mathbf{b}$侧也为0，则方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解

为什么这样就能肯定方程有解呢？
首先这是在说，各个方程之间没有“互相矛盾”（消元后没出现"0=1"）
其次，我们从最后一个主元开始求解，依次向上回带，一定根据方程的约束解出未知量，但具体有多少个解就不一定了

• 仅当$\mathbf{A}$的列空间$C(\mathbf{A})$包含向量$\mathbf{b}$时，方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解
  [矩阵乘法角度]这就是说，列向量的线性组合能够得到$\mathbf{b}$
  [几何意义角度]矩阵$\mathbf{A}$线性变换后的空间（基为列向量），包含$\mathbf{b}$
  因此，我们可以先求列空间，然后判断是否有解

求解$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$

求解$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的一个特解 + $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的所有可能解 = $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的所有可能解

具体步骤：$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$使用5-3所讲的消元法得到一个特解，$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$使用消元法得到基础解系和零空间，两者叠加即可

• 原因：$x_p$为$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的特解，$x_n$为$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的所有可能解（$\mathbf{A}$的零空间中的所有向量），那么有$\mathbf{A}{\mathbf{x}}_p=\mathbf{b}$和$\mathbf{A}{\mathbf{x}}_n=0$，两个方程相加，得到$\mathbf{A}({\mathbf{x}}_{\mathbf{p}}+{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}})=\mathbf{b}$，从而所有$({\mathbf{x}}_{\mathbf{p}}+{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}})$都是方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解
• 注意，$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解空间一定不是向量空间，因为不含$0$向量，这个解空间可以理解为：$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的零空间（向量空间）与方程特解向量$x_p$的叠加（零空间做平移，好比y=x到y=x+b的平移）
• 其暗含的意思是：
  ①若$Rank(\mathbf{A})=n$，那么$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$有唯一零解，则$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$也只有唯一解（如果有解）
  ②若$Rank(\mathbf{A})<n$，则矩阵对应降维变换，那么$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$有解空间（维度大于零，无穷个非零解），进而$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的通解=$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的一个特解 + $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的基础解系的任意线性组合

从秩的角度看方程

定义秩$Rank(\mathbf{A})$：$m$行$n$列的系数矩阵$\mathbf{A}$消元结束后，主元的个数，并且必有$r\le m$和$r\le n$

• 若列满秩$Rank(\mathbf{A})=n<m$，那么$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$有唯一零解，则$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$也只有唯一解（如果有解）
  原因：这意味着方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$每一列都有一个主元，所有变量都是主变量，并且方程右侧始终为0，因此求得唯一解$0$，即零空间为一个点，进一步导致$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$无解/唯一解
• 若行满秩$Rank(\mathbf{A})=m<n$，那么对于任意$\mathbf{b}$，$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$必定有解，且有$n-Rank(\mathbf{A})$个自由变量（这也是基础解系的向量个数/零空间的维数）
  原因：这意味着消元完成后，左侧的$\mathbf{A}$并未出现全0行，因此不会出现方程相互矛盾的情况（如"0=1"）
• 行列满秩/满秩$Rank(\mathbf{A})=n=m$，$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$唯一零解（零空间为一个点），$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$有唯一解
  理解：消元后每行每列都有主元，那么行最简阶梯型一定是单位矩阵
• 若$Rank(\mathbf{A})<n且Rank(\mathbf{A})<m$，则矩阵对应降维变换，那么$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$有无穷个解，进而$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$有无穷个解

从消元后得到的行简化阶梯型$\mathbf{R}$来看：

• 方程是否有解，就要看$\mathbf{R}$是否出现全0行
  如果出现了全0行，右边的$\mathbf{b}$对应为0，才有解；否则无解
• 方程有唯一解还是无穷解，就要看$\mathbf{R}$中的自由变量个数 $n-r$（列数-秩/主元个数）
  0个自由变量则方程有唯一解；1个及以上自由变量，方程有无穷解（自由变量有几个，基础解系中的向量就有几个，从而零空间的维度就是几）

具体对应到各个情况：

• $Rank(\mathbf{A})=m=n$，行简化阶梯型$\mathbf{R}=\mathbf{I}$，无全0行，方程必有解，且自由变量个数为$0$，有唯一解
• $Rank(\mathbf{A})=n<m$， R = [ I 0 ] \mathbf R=
  [I0]" role="presentation" style="position: relative;">[I0]$$\left[\begin{array}{c}\mathbf{I}\\ \mathbf{0}\end{array}\right]$$
  R=[I0​]，当对应行的$\mathbf{b}$为0时方程才有解；若有解，自由变量个数为$0$，唯一解
• $Rank(\mathbf{A})=m<n$， R = [ I F ] \mathbf R=
  [IF]" role="presentation" style="position: relative;">[IF]$$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{I}& \mathbf{F}\end{array}\right]$$
  R=[I​F​]（重新排列变量后可得到此形式），无全0行，方程必有解，自由变量个数为$n-r>0$，有无穷解（零空间至少是一条直线）
• $Rank(\mathbf{A})<n且Rank(\mathbf{A})<m$， R = [ I F 0 0 ] \mathbf R=
  [IF00]" role="presentation" style="position: relative;">[I0F0]$$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{I}& \mathbf{F}\\ \mathbf{0}& \mathbf{0}\end{array}\right]$$
  R=[I0​F0​]，当对应行的$\mathbf{b}$为0时方程才有解；若有解，自由变量个数为$n-r>0$，有无穷解

总之，
$\mathbf{A}$的零空间维数$dim[N(\mathbf{A})]$=$\mathbf{A}$消元后的自由列个数 $n-Rank(\mathbf{A})$
秩$Rank(\mathbf{A})$=矩阵$\mathbf{A}$的主元列个数=$\mathbf{A}$线性无关列向量的最大个数=$\mathbf{A}$的列空间维数$dim[C(\mathbf{A})]$
秩$Rank(\mathbf{A})$决定了方程解的结构（有没有解、有唯一/无穷解）