【数学思维】论文阅读中的逆变换定理

一、起因

• 在论文《Competition Among Parallel Contests》中所有参赛者能力$s_i$独立同分布于$G$，假设$G$是一个连续的单调非减的函数。定义分位点$q=1-G(s)$来代表参赛者的竞争力，得到无论$G$是何种分布，$q$都一定会服从均匀分布$U[0,1]$。

二、逆变换定理

• 设随机变量$U\sim U(0,1)$，$F(X)$是某一随机变量$X$的分布函数，并且$F(X)$严格单调递增且连续，那么$F^{-1}(U)$具有分布函数$F(X)$（其中$F^{-1}(X)$是$F(X)$的反函数）。
• 论文中结论的证明需要涉及逆变换定理的逆定理（不确定是否成立）。证明思路如下：
  $$\begin{gathered} q=1-G(s) \\ 1-q=G(s) \\ s(q)=G^{-1}(1-q) \end{gathered}$$
  因为$G^{-1}(1-q)$拥有分布函数$G$，所以$1-q\sim U(0,1)$，所以$q\sim U(0,1)$。

三、应用

• 逆变换定理常用于采样中，如果目标分布过于复杂难以采样，可以使用均匀分布作为输入通过目标的逆函数得到采样值，这样的采样结果一定符合原分布。