随笔

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1. 高数预备知识

• 反函数
  1）f [ f ^-1 (x) ] = x
  2）严单必有反

• 复合函数，⭐ 掌握复合方法 （P.22 例1.4，有可能是第一问）
  1）广义化
  2）画图
  3）写答案

• 函数四特性
  1）有界，指明区间
  2）单调性：求导，定义法（尤其是数列）
  3）⭐ 奇偶性，f(x)-f(-x)，双曲正弦，双曲余弦（P.22），对称轴的变换
  4）周期性，一元积分学中有重要用途

• ⭐ 7 个结论

• 神秘的数字 0，1
  

• ⭐ 幂函数单调性研究（P.5）

• 1）求 √u 的最值，千万不要拿 √u 去求导，直接求 u 的最值，再开根号
  2）⭐⭐⭐ 求 |u| 的最值，直接求 u² 的最值，再开根号（今年就要考这个）
  3）见到多项相乘相除开方乘方求最值，取对数
  4）见到 1 / u ，用 u

• √x 和 x² 在 [0,1] 所围成面积 S=1/3

• ⭐ y=e^x , 极限把握好，常用面积 S=1

• ln x 趋向正无穷和负无穷的速度是极慢的
  x->0⁺，lim x^a lnx = 0 (a>0)
  

• ⭐ u^v = e ^vlnu ，u >0

• 幂指函数，考研最爱考的函数之一，x^x 求极限和求导，一定要转成 e ^xlnx

• 面积，得记住
  
  

• 放缩，趋于 0 ，|sinx| < |x|

• 三角函数特殊函数值（P.6）

• ⭐ arcsin x + arccos x = π / 2 （-1 ≤ x ≤ 1）
  ⭐ arctan x + arccot x = π / 2 （-oo ≤ x ≤ +oo）

• 证 f(x) = 常数 C
  1.求导 f '(x) = 0
  2.代入特殊值 f(x₀) = C

• x^x ，x^2x ，x^3x 的图像
  

• 三个重要的分段函数
  ⭐⭐⭐ x-1 < [ x ] ≤ x

• 图形变换
  左右平移：ln(x+1) ≤ x，x > -1
  上下平移：e^x ≥ x+1
  sin2x 、2sinx

• 在 x=0 的邻域中，|sinx| = sin|x|

• ⭐极坐标系
  ⭐ 直角系观点画极坐标系下图像 r = r(θ)
  心形线（外摆线），三叶玫瑰线，阿基米德螺线（求0 - 2π 所围面积 ），伯努利双纽线

• 参数方程
  摆线（平摆线），考的频率极高，考研只取一拱
  星形线（内摆线）

• ⭐ 等比数列，下图考的太多了
  

• ⭐⭐⭐ 裂项相消法
  

• 八个诱导公式，极为重要（P.17），换元法里用

• 倍角公式，半角公式（P.18）

• 和差公式（P.18）

• ⭐ 对数运算法则，对于多项相乘相除开方乘方，先取对数再求导，对数求导法
  eg：
  

• ln(1+1/x) = ln(x+1) - ln x

• 连续不等式证明，往往考虑中值定理
  eg：
  

• 一元二次方程基础

• 因式分解
  ⭐ 二项式定理
  

• 华里士公式（点火公式），必考无疑

• ⭐⭐⭐ 常用不等式（P.20）
  
  ⭐ √ab ≤ a+b/2 ，|ab| ≤ a²+b² /2
  

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2. 数列极限

⭐⭐ 夹逼
⭐⭐⭐单调有界准则

• 单独证明极限存在，三步曲
• 已知某一极限，证另一极限，定义法
• ⭐ 重要思路：欲证 a_n 趋于 0 ，转化为欲证 |a_n| 趋于 0 ，若使用夹逼准则，省一半力气

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3. 函数极限与连续性

• 邻域，开区间

• ⭐ 函数极限定义 ，注：0 < |x-x₀| ，防止 x 与 x₀ 重合

• 极限存在充要条件

• 等式脱帽法，误差是几阶要具体问题具体分析（2023年可能会考）

• 泰勒公式（P.37）

• 唯一性，4 个 ，⭐⭐⭐ [x] （2023可能会考）

• 局部有界性

• 局部保号性，可以考证明，有技巧

• ⭐ 记号运算规则，即高阶无穷小的计算规则（P.39）

• 泰勒展开原则
  1）A / B 型，上下同阶
  2）A - B 型，幂次最低

• 海涅定理

• 无穷小定义

• 无穷小的比阶，5个（P.39）

• 无穷小运算规则
  1）有限个无穷小的和是无穷小
  2）有限个无穷小的乘积是无穷小
  3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小，主要考这个

• 常用等价无穷小，背熟 （P.39）

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4. 一元函数微分学的概念与计算

4.1 知识结构

• ⭐ 导数的概念 / 微分的概念 （5分）
• ⭐⭐⭐ 导数与微分的计算 （5分 / 12分）

4.2 一元函数微分学的概念

4.2.1 导数的概念

• 每年出一道：f '(x₀) = k ，某点斜率等于某点导数值
• da / db 叫 a 对 b 的(瞬时)变化率，题目往往会隐藏 瞬时 这两个字，但你要知道
• ⭐⭐⭐ 导数定义：增量式，差值式
• ① y=f(x) 在 x₀ 处可导；
  ② y=f(x) 在 x₀ 处导数存在；
  ③ f '(x₀) = A（A为有限数）；这三种说法完全一样，无论说哪一种，都认为是 ③
• ⭐⭐⭐ 函数在一点处可导的充要条件是：左导数存在，右导数存在，且相等
• 连续时一点处不可导的典型情况：y=|x|（尖点），y=x^1/3（无穷导数）
• 导数的几何意义，切线方程，法线方程（法线的斜率 = - 1 / 切线斜率）
• 高阶导数

练习：例 4.1，例 4.2，例 4.3，⭐⭐⭐ 例 4.4，⭐⭐⭐ 例 4.5，例 4.6（2023考研题）

4.2.2 微分的概念

• Δy= AΔx + o(Δx)
  dy=AΔx =f’(x)Δx
• Δx= Δx + o(Δx)，其中 o(Δx) = 0
  dx=Δx
• dy= f’(x) dx
• 可微的判别：作极限 Δx->0，lim (Δy-AΔx) / Δx ，看其是否等于 0
• 可微的含义：对于增量而言，用简单的线性增量代替了形式复杂的增量，且产生的误差又可以粗略不计
  
• 可导必可微，可微必可导

练习：例 4.7，例 4.8

4.3 一元函数微分学的计算

4.3.1 四则运算

• 逆用，eg：f(x)f’(x)，f’(x)g(x)-f(x)g’(x) 的辅助函数
• (u•v•w) ’ = u’•v•w + u•v’•w + u•v•w’ ，遇到因式超过三个的式子，一般不要直接求导，而要另谋他法

练习：⭐⭐⭐ 例 4.9

4.3.2 分段函数的导数

• ⭐ 分段函数求导方式
  ① 在分段点用导数定义求导，分别求左、右导数来依据是否相等判断间断点导数是否存在
  ② 非分段点用导数公式求导
• In|u(x)| 求导，视绝对值而不见

练习：例 4.10，例 4.11，⭐ 例 4.12

4.3.3 复合函数的导数与微分形式的不变性

• ⭐ 微分形式的不变性
  
• { f [g(x)] } ’ 与 f ‘ [g(x)] 的区别

练习：例 4.15，例 4.13，例 4.14

4.3.4 反函数的导数

• 设 y=y(x) 可导，且 f’(x) ≠ 0，=> f’(x) 必恒正或恒负 => f(x) 单调
• 重中之重：① 反函数的一阶导 = 原函数一阶导的倒数
                    ② 反函数的二阶导 = - 原函数二阶导 ÷ (原函数一阶导)³ ，要求会推导
                        原函数的二阶导 = - 反函数二阶导 ÷ (反函数一阶导)³
  

练习：例 4.16，例 4.17

4.3.5 参数方程所确定的函数的导数

• 求导规则
• 参数方程求二阶导

练习：例 4.18

4.3.6 隐函数求导法

• 方法：方程两边同时对 x 求导

练习：例 4.19

4.3.7 对数求导法

• 对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导。（必考内容）

练习：例 4.20

4.3.8 幂指函数求导法

• u(x)^v(x)
• y=x^x ，y=x^1/x 的图像

练习：⭐ 例 4.21（背下来），⭐ 例 4.22（背下来）

4.3.9 ⭐⭐⭐ 高阶导数

4.3.9.1 归纳法

• 逐次求导，探索规律，得出通式

练习：例 4.23（要记），例 4.26

4.3.10 变限积分的求导公式

• 公式：P.62，必考公式，一定出题

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5. 一元函数微分学的几何应用

5.1 知识结构

• 三点两性一线
• 求最值或取值范围（5分）
• 极值点，拐点 往往放一起考
• 极值，最值，单调性，凹凸性，拐点 （5分）
• 渐近线往往是一个单独的考题（5分）
• 含参数的方程根的讨论问题（5分 / 12分），注意一下，可能是今年考卷上重要考题

5.2 极值与最值得概念

• 极值定义：邻域，f(x) ≥ f(x₀) 或 f(x) ≤ f(x₀)
• 最值定义：定义域，f(x) ≥ f(x₀) 或 f(x) ≤ f(x₀)
• ⭐ 极值与最值的关系：极值点不一定是最值点，最值点不一定是极值点
• 图像： f(x) = 3x-x³
• ⭐⭐⭐ 区间内部的最值点必是极值点，考研中有大用处
• 间断点可以是极值点吗 ？（P.77）
  如果在那一点有定义的话，可去，跳跃，无穷，振荡间断点都可以是极值点

5.3 单调性与极值的判别

• 单调性的判别，可导区间用导数的正负确定
• 一阶可导且一阶导数为 0，则为极值点

5.3.1 判别极值点的充分条件

1. 第一充分条件：前提连续，一阶导数变号
2. 第二充分条件：一阶导数等于 0，二阶导数不为 0（会证明）
3. 第三充分条件：n 为偶数，前 n-1 阶导数都等于 0，n 阶导数不为 0

5.4 凹凸性与拐点的概念

• 凹凸性的定义
• 拐点的定义：①拐点处只需连续 ②凹凸不分先后 ③拐点在曲线上，写 （x₀，f(x₀)）

5.5 凹凸性与拐点的判别

• 凹凸性的判别：二阶导数大于0为凹，二阶导数小于0为凸
• 二阶可导且二阶导数为 0，则为拐点

5.5.1 判别拐点的充分条件

1. 第一充分条件：前提连续，二阶导数变号
2. 第二充分条件：二阶导数等于 0，三阶导数不为 0
3. 第三充分条件：n 为奇数，前 n-1 阶导数都等于 0（从 2 阶导数开始），n 阶导数不为0

练习：⭐ 例 5.2，例 5.3，例 5.4，⭐ 例 5.5，例 5.6，例 5.7

5.6 渐近线

• 铅垂渐近线：f(x) 在无定义点，定义区间的端点 的极限值趋于∞

• 水平渐近线：x->∞，lim y(x) 为常数

• ⭐ 斜渐近线：y=ax+b
  x->∞：a=lim f(x) / x，b=lim [ f(x) - ax ] （注：a≠0）

• 求渐近线判别顺序
  1.先找函数的无定义点，定义区间的端点，判别在这点有无铅垂渐近线
  2.看x->∞，y(x) 是不是常数
  3.用 f(x) / x ，看它的极限值是不是非零常数，然后求 b

练习：例 5.8

5.7 最值或取值范围

• 闭区间上连续函数求最值
  1.找驻点（即一阶导数为 0 的点），不可导点，端点
  2.求值，比大小

练习：例 5.9

• 开区间上连续函数的最值或取值范围
  1.找驻点（即一阶导数为 0 的点），不可导点，左右极限
  2.求值，比大小

练习：例 5.10

5.8 作函数图形

• 画 f(x) 图像一般步骤
  1.确定定义域，考察奇偶性
  2.无定义点，一阶导数为 0 的点，一阶导数不存在的点，二阶导数为零的点，然后画表格
  3.确定渐近线
  4.作图

练习：例 5.11

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6. 中值定理

差前4个视频

• 不脱帽，全戴帽

• 拉格朗日：(1) 见到 f 与 f 的关系
                    (2) 见到 f 与 f ’ 的关系

• 最常用 f(x) - f(x₀) = f '(s) (x-x₀) ，一个定点，一个动点

• aⁿ 与 bⁿ ，若 n>0 ，a>b，则 aⁿ > bⁿ
                   若 n<0 ，a>b，则 aⁿ < bⁿ

• 柯西中值定理：一个具体，一个抽象（P.96）

• 泰勒公式：区间上，局部上 （ 区分度极高，一定要会！）
  

• 麦克劳林公式 （P.92）
  

• ⭐⭐⭐ 证明题重要转换

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8. 一元函数积分学的概念与计算

• 不定积分存在定理
  ⭐⭐⭐ 连续函数必有原函数 ，它的证明考研里面考过，这里涉及5个知识点
  含有第一类间断点和无穷间断点的函数在此区间无原函数，考研可能会考证明过程

• ⭐⭐⭐ 祖孙三代 ，证明过程
  

• 复合函数，外偶则偶，外奇看内

• ⭐在一个周期上的积分值与起点无关

• 导数介值定理

• 定积分存在前提，上下左右有界

• ⭐ 定积分精确定义，右，左，中 端点

• ⭐⭐⭐ 一定是倒着考
  

• 对于 n 项和的极限
  1）先提 1 / n
  2）若能凑成 f (i/n) ，则用定积分定义
  3）若不能，则考虑夹逼准则

• 定积分存在定理
  充分条件：1. 连续
                    2. 单调
              ⭐ 3. 有界，有限个间断点（可去，跳跃，有界振荡）
  必要条件：定积分存在，函数必然是有界的。后面常用，可积函数必有界

• 定积分的性质，一共 6 条
  ⭐ 4. 积分的保号性，| 亡羊补牢 | ≤ 未 |雨绸| 缪 ，

• 变限积分的性质，一共 2 条
  ⭐ 1.最好把证明记一记
  

• 可导必然连续，连续必然可积，可积必然有界

视频 5 还有一点点

• 一般反常积分收敛，极限为 0

• 反常积分收敛不一定极限为 0 ，很有可能是未来的考题（P.115）

• 瑕点，奇点

• 定积分存在叫常义可积，反常积分存在叫广义可积

• ⭐ 敛散性判别，两个重要结论（P.139）

8.1 不定积分的计算

• 不定积分的积分法——凑微分法，换元法，分部积分法，有理函数积分法

• 基本积分公式，要熟稔于心（P.116）

8.1.1 凑微分法

例 8.9，例 8.10，例 8.15

8.1.2 换元法

1. √a² - x² ，√a² + x² ，√x² - a² （例 8.11，例 8.12，例 8.13）

2. √ax² + bx + c

3. ⁿ√ax + b，√ax + b / cx + d，√ae^bx+ c，⭐⭐⭐ 令复杂= t

4. 倒代换

5. √ ，a^x，e^x，lnx，arcsinx，arctanx ，令复杂= t

8.1.3 分部积分法

• 基本思想
  
• u，v 的选取，（例 8.17）
• 推广公式
  

8.1.4 有理函数积分法

• 定义

• 方法，注：实数域

• 分解原则

例 8.20，例 8.21

8.2 定积分的计算

• 牛顿-莱布尼茨公式：闭区间连续
  牛顿-莱布尼茨公式推广：闭区间有限个间断点（振荡间断点）

• 定积分的换元积分法，三换（例 8.31，涉及诱导公式）
  定积分的分部积分法（例 8.36，⭐ 例 8.37）

• ⭐ 偶倍，奇零（例 8.24，例 8.25，涉及积分的保号性）
  ⭐ 区间再现公式（⭐ 例 8.28，例 8.30）

• ⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐ 点火公式（例 8.32）

• ⭐ 分部积分法常可制造递推关系

• 华里士公式应用（例 8.26，例 8.29）

8.3 变限积分的计算

• 例 8.38，例 8.39

8.4 反常积分的计算

• 含有瑕点的无界函数的反常积分（例 8.41）

• 无穷区间上的反常积分（例 8.43）

• 注：在收敛的条件下，通过换元，可能实现反常积分与定积分的相互转换，不必大惊小怪

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9. 一元函数积分学的几何应用

• 复习三大体系下的图形

• 面积
  1.直角坐标系下，直接算
  2.参数下 （1）直接算，考的可能性少
           ⭐ （2）换元法
  3.极坐标下，直接算
  

• 体积
  1.y=y(x) 绕 x 轴一圈所围图形体积
  2.y=y₁(x) 与 y=y₂(x) 绕 x 轴一圈所围图形体积，常考题
  3.y=y(x) 绕 y 轴一圈所围图形体积
  4.y=y₁(x) 与 y=y₂(x) 绕 y 轴一圈所围图形体积

• 平均值
  y(x) 在 [a,b] 上的平均值（即平均高）

• ⭐ 小结
  

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11. 多元函数微分学

• 邻域，边界，区域，聚点 的概念

• 极限定义，按第一种来

• 连续

• ⭐⭐⭐ 偏导数
  

• ⭐⭐⭐ 可微，区分度很高
  1）判别是否可微
  2）在可微的条件下，写出全微分

• 偏导数的连续性