【线性代数】知识点总结（上）

线性代数知识点总结归纳，参考资料为武汉大学黄正华老师的教学课件。

1. 行列式

1.1 内容小结

• 行列式的三种变换

  • 互换某两行 (列) ; 记作 $r_i\leftrightarrow r_j\left(c_i\leftrightarrow c_j\right)$.
  • 提出某一行(列)的公因子; 记作 $r_i÷k\left(c_i÷k\right)$.
  • 把某一行(列)的 $k$ 倍加到另一行(列); 记作 $r_i+k{r}_j\left(c_i+k{c}_j\right)$.
    计算行列式最常用的一种方法就是利用变换 $r_i+k{r}_j$ 和 $r_i\leftrightarrow r_j$, 把行列式化为上三角形行列式, 从而 算得行列式的值.

• 行列式为零的两种情形:

  • 两行(列)相同.
  • 两行(列)成比例.

• 行列式的某行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为0。
  证明：将第$i$行加到第$j$行上（行列式值不变），再将行列式按第$j$行张开，得
  $$\begin{array}{rl}D& =（a_{j1}+a_{i1}）A_{j1}+（a_{j2}+a_{i2}）A_{j2}+\dots +（a_{jn}+a_{in}）A_{jn}\\ & =D+（a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\dots +a_{in}{A}_{jn}）\end{array}$$
  显然上式后面部分为0，得证。

• $D^T=D$

1.2 常用结论

1. 对角行列式
   $$\left|\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n.$$
2. 三角形行列式
   $$\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& 0& 0& \cdots & 0\\ a_{21}& a_{22}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|.$$
3. 准三角形行列式
   $$\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1k}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& \cdots & a_{kk}& 0& \cdots & 0\\ c_{11}& \cdots & c_{1k}& b_{11}& \cdots & b_{1r}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{r1}& \cdots & c_{rk}& b_{r1}& \cdots & b_{rr}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1k}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& \cdots & a_{kk}\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1r}\\ ⋮& & ⋮\\ b_{r1}& \cdots & b_{rr}\end{array}\right|.$$
   对角行列式是三角形行列式的特例, 三角形行列式又是准三角形行列式的特例.
4. 范德蒙德行列式
   $$\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& x_3& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& x_3^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{n⩾i>j⩾1}\left(x_i-x_j\right)$$

1.3 典型例题

计算 $n$ 阶行列式
$$D_n=\left|\begin{array}{cccc}x& a& \cdots & a\\ a& x& \cdots & a\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a& a& \cdots & x\end{array}\right|.$$
解:

解法一. 将第一行乘 $(-1)$ 分别加到其余各行, 得
$$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}x& a& a& \cdots & a\\ a-x& x-a& 0& \cdots & 0\\ a-x& 0& x-a& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a-x& 0& 0& \cdots & x-a\end{array}\right|,$$
再将各列都加到第一列上, 得
$$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}x+(n-1)a& a& a& \cdots & a\\ 0& x-a& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& x-a& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & x-a\end{array}\right|=(x+(n-1)a)(x-a{)}^{n-1}.$$
解法二. 将各列都加到第一列得
$$D_n=\left|\begin{array}{cccc}x+(n-1)a& a& \cdots & a\\ x+(n-1)a& x& \cdots & a\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x+(n-1)a& a& \cdots & x\end{array}\right|=(x+(n-1)a)\left|\begin{array}{cccc}1& a& \cdots & a\\ 1& x& \cdots & a\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& a& \cdots & x\end{array}\right|,$$
再将第一行乘以 $(-1)$ 分别加到其余各行, 得
$$D_n=(x+(n-1)a)\left|\begin{array}{ccccc}1& a& a& \cdots & a\\ 0& x-a& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& x-a& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & x-a\end{array}\right|=(x+(n-1)a)(x-a{)}^{n-1}.$$

解法三. 升阶法.
$$D_n={\left|\begin{array}{ccccc}1& a& a& \cdots & a\\ 0& x& a& \cdots & a\\ 0& a& x& \cdots & a\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& a& a& \cdots & x\end{array}\right|}_{(n+1)\times (n+1)}\frac{r_i-r_1}{i=2,3,\cdots }{\left|\begin{array}{ccccc}1& a& a& \cdots & a\\ -1& x-a& 0& \cdots & 0\\ -1& 0& x-a& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ -1& 0& 0& \cdots & x-a\end{array}\right|}_{(n+1)\times (n+1)}$$
若 $x=a$, 则 $D_n=0$. 若 $x\ne a$, 则将 $\frac{1}{x-a}{c}_j$ 加到 $c_1,j=2,3,\cdots ,n+1$ :
$$\begin{array}{rl}{D}_n& ={\left|\begin{array}{ccccc}1+\frac{a}{x-a}n& a& a& \cdots & a\\ 0& x-a& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& x-a& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & x-a\end{array}\right|}_{(n+1)\times (n+1)}\\ & =\left(1+\frac{na}{x-a}\right)(x-a{)}^n=(x+(n-1)a)(x-a{)}^{n-1}.\end{array}$$
解法四. 将 $D_n$ 的第 1 列拆开, 得
$$D_n=\left|\begin{array}{ccclc}x-a& a& a& \cdots & a\\ 0& x& a& \cdots & a\\ 0& a& x& \cdots & a\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& a& a& \cdots & x\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccccc}a& a& a& \cdots & a\\ a& x& a& \cdots & a\\ a& a& x& \cdots & a\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a& a& a& \cdots & x\end{array}\right|=(x-a)D_{n-1}+a(x-a{)}^{n-1}.$$
所以
将上述等式累加, 消掉等号两边的相同项, 并注意到 $D_2=x^2-a^2$, 则
$$D_n=(x-a{)}^{n-2}\left(x^2-a^2\right)+(n-2)a(x-a{)}^{n-1}=(x+(n-1)a)(x-a{)}^{n-1}.$$

1.4 行列式计算的常见方法

1. 基本计算思路

1. 三角化

   化行列式为三角形是计算行列式的最基本思路. 通过观察行列式的特点, 利用行列式的性质将其作变 形, 再将其化为三角形行列式.

   例： 计算 $n$ 阶行列式
   $$D=\left|\begin{array}{cccccc}n& n-1& \cdots & 3& 2& 1\\ n& n-1& \cdots & 3& 3& 1\\ n& n-1& \cdots & 5& 2& 1\\ ⋮& ⋮& .& ⋮& ⋮& ⋮\\ n& 2n-3& \cdots & 3& 2& 1\\ 2n-1& n-1& \cdots & 3& 2& 1\end{array}\right|.$$
   解 各行只有副对角线元素不同. 将第 1 行乘以 (-1) 加到第 $2,3,\dots ,n$ 行, 得
   $$D=\left|\begin{array}{cccccc}n& n-1& \cdots & 3& 2& 1\\ 0& 0& \cdots & 0& 1& 0\\ 0& 0& \cdots & 2& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& n-2& \cdots & 0& 0& 0\\ n-1& 0& \cdots & 0& 0& 0\end{array}\right|=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)!$$

2. 降阶法

   按一行(列)展开或按 Laplace 定理展开, 将 𝑛 阶行列式降为较低阶又容易计算的行列式, 此方法统称为降阶法

   例： 计算 $n$ 阶行列式
   $$D_n=\left|\begin{array}{cccccc}a& b& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& a& b& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a& b\\ b& 0& 0& \cdots & 0& a\end{array}\right|.$$
   解 按第一列展开,
   $$D_n=a^n+(-1{)}^{n+1}{b}^n.$$

3. 递推法

   一般地, 递推方法是通过降阶等途径, 建立 $n$ 阶行列式 $D_n$ 和较它阶低的结构相同的行列式之间的关 系, 并求得 $D_n$

   例： 计算如下的 $n$ 阶三对角行列式
   $$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}a+b& ab& & & \\ 1& a+b& ab& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & 1& a+b& ab\\ & & & 1& a+b\end{array}\right|.$$
   解 按第 1 列展开, 得
   $$\begin{array}{rl}{D}_n=& (a+b)D_{n-1}-\left|\begin{array}{cccccc}ab& 0& 0& & & \\ 1& a+b& ab& & & \\ & 1& a+b& ab& & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & 1& a+b& ab\\ & & & & 1& a+b\end{array}\right|\\ =& (a+b)D_{n-1}-ab{D}_{n-2}.\end{array}$$
   由 上式得到
   $$D_n-b{D}_{n-1}=a\left(D_{n-1}-b{D}_{n-2}\right)=a^2\left(D_{n-2}-b{D}_{n-3}\right)=\cdots =a^{n-2}\left(D_2-b{D}_1\right).$$
   又 $D_1=a+b,D_2=a^2+b^2+ab$, 得
   $$D_n-b{D}_{n-1}=a^n.\text{\hspace{1em}(1)}$$
   同理(或由 $a,b$ 的对称性)得
   $$D_n-a{D}_{n-1}=b^n.\text{\hspace{1em}(2)}$$
   若 $a\ne b$, 联立 (1) 和 (2) 消去 $D_{n-1}$, 得
   $$D_n=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}.$$
   若 $a=b$, 则 $D_n=a{D}_{n-1}+a^n$. 依此递推, 得 $D_n=(n+1)a^n$.
   注: 与递推过程相反的方法是归纳. 如要计算 $n$ 阶行列式
   $$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}3& 2& & & \\ 1& 3& 2& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & 1& 3& 2\\ & & & 1& 3\end{array}\right|,$$
   因为 $D_1=3=2^2-1,D_2=7=2^3-1,D_3=15=2^4-1$. 因此, 猜想
   $$D_n=2^{n+1}-1,$$
   并利用数学归纳法易证此结论成立.

2. 常用化简手法

要计算一个 $n$ 阶行列式, 往往要利用行列式性质将它化简. 为此, 有以下常用手法:

• 行累加, 即把行列式的某 $n-1$ 个行, 加到余下的一行. 当行列式的各行的和相同时常使用此技巧.
• 主行消法, 即某行的适当倍数, 加到其余的各行.
• 逐行消法, 即第 $i$ 行乘以 $k$ 加到第 $i+1$ 行, $i=n-1,n-2,\cdots ,1$; 或第 $i+1$ 行乘以 $k$ 加到第 $i$ 行, $i=1,2,\cdots ,n-1$.
• 逐行相邻互换.

3. 辅助算法

1. 升阶

   将 $n$ 阶行列式添上一行、一列, 变为 $n+1$ 阶行列式再化简计算. 也称加边法.当然加边不是随便加一行一列就可以了. 关键是观察每行或每列是否有相同的因子.

   例： 计算 $n$ 阶行列式:
   $$D_n=\left|\begin{array}{cccc}{x}_1^2+1& x_1{x}_2& \cdots & x_1{x}_n\\ x_2{x}_1& x_2^2+1& \cdots & x_2{x}_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_n{x}_1& x_n{x}_2& \cdots & x_n^2+1\end{array}\right|.$$
   分析: 暂时不看主对角线上的 1 , 则第 $i$ 行是 $x_i$ 与 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 相乘. 该行列式每行有相同的因子 $x_1,x_2$, $\dots ,x_n$, 从而考虑加边法.

   注意 升阶法最大的特点就是要找出每行或每列相同的因子, 把 1 及这些相同的因子作为新行列式的 第一行, 那么升阶之后, 就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零, 从而简化计算.

2. 裂开

   将一个行列式裂开成 2 个(或 2 个以上)行列式来化简计算.

   例： 试证
   $$\left|\begin{array}{lll}b+c& c+a& a+b\\ q+r& r+p& p+q\\ y+z& z+x& x+y\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{lll}a& b& c\\ p& q& r\\ x& y& z\end{array}\right|$$
   解: 记左端行列式为 $D$, 利用行列式的性质, 将 $D$ 的第 1 列拆开得到两个行列式
   $$D=\left|\begin{array}{ccc}b& c+a& a+b\\ q& r+p& p+q\\ y& z+x& x+y\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}c& c+a& a+b\\ r& r+p& p+q\\ z& z+x& x+y\end{array}\right|$$
   将第一个行列式中将第 3 列减去第 1 列, 在第 2 个行列式中将第 2 列减去第 1 列:
   $$\begin{array}{rl}D& =\left|\begin{array}{lll}b& c+a& a\\ q& r+p& p\\ y& z+x& x\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}c& a& a+b\\ r& p& p+q\\ z& x& x+y\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{lll}b& c& a\\ q& r& p\\ y& z& x\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}c& a& b\\ r& p& q\\ z& x& y\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ p& q& r\\ x& y& z\end{array}\right|\end{array}$$
   得证.

2. 矩阵及其运算

矩阵是一个数表, 而行列式本质上是一个数. 这是两者的巨大区别.

2.1 内容小结

1. 矩阵的运算.

• 不满足交换律, 即 $AB=BA$ 一般不成立. (特别地, 若 $AB=BA$, 则称矩阵 $A$ 和 $B$ 是可交换 的.) 相应地要注意以下几点:

  • 矩阵乘法特别地有 “左乘” 和 “右乘” 的说法, 即 $\mathbf{B}\mathbf{A}$ 和$\mathbf{AB}$ 是完 全不同的.
  • 在提取公因子的时候, 要分清楚是从左侧还是右侧提出. 比如 $\mathbf{AB}-\mathbf{B}$ 可以写为 $(\mathbf{A}-\mathbf{E})\mathbf{B}$, 即 $\mathbf{B}$ 只能从右侧提出, 不能写成 $\mathbf{B}(\mathbf{A}-\mathbf{E})$. 而 $\mathbf{AB}-\mathbf{BC}$, 写成 $(\mathbf{A}-\mathbf{C})\mathbf{B}$ 或 $\mathbf{B}(\mathbf{A}-\mathbf{C})$, 都是错误的.
  • 由于不满足交换律, 下列公式一般不成立:
    • $(\mathbf{AB}{)}^k={\mathbf{A}}^k{\mathbf{B}}^k$;
    • $(\mathbf{A}+\mathbf{B})(\mathbf{A}-\mathbf{B})={\mathbf{A}}^2-{\mathbf{B}}^2$
    • 牛顿二项式展开式一般不成立, 比如最简单的公式 $(\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^2={\mathbf{A}}^2+2\mathbf{AB}+{\mathbf{B}}^2$ 就不成立. 而 $\mathbf{A}$ 与 $\lambda \mathbf{E}$ 当然是可交换的, 所以牛顿二项式展开式只在下面的情形成立:
      $$(\mathbf{A}+\lambda \mathbf{E}{)}^n={\mathbf{A}}^n+C_n^1\lambda {\mathbf{A}}^{n-1}+C_n^2{\lambda }^2{\mathbf{A}}^{n-2}+\cdots C_n^{n-1}{\lambda }^{n-1}\mathbf{A}+{\lambda }^n\mathbf{E}.$$

• 不满足消去律:

  • 当 $AB=O$ 时, 不能推出 $A=O$ 或 $B=O$.
  • 当 $AB=AC$, 且 $A\ne O$ 时, 不能得到 $B=C$.
    注意, 当 $A$ 可逆时, 消去律是成立的, 即
    • 当 $AB=O$ 时, 且 $|A|\ne 0$ 时, 有 $B=O$;
    • 当 $AB=AC$, 且 $|A|\ne 0$ 时, 有 $B=C$.

  问: 由 $A^2=O$, 能否得到 $A=O$ ? 由 $A^2=E$, 能否得到 $A=\pm E?$
  由 $a{\mathbf{A}}^2+b\mathbf{A}+c\mathbf{E}=\mathbf{O}$ 且 $b^2-4ac⩾0$, 能否得到 $\mathbf{A}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\mathbf{E}?$

  上述都是不成立的, 根源仍然是因为矩阵乘法不满足消去律.
  矩阵乘法不满足交换律, 不满足消去律, 还有一些过去熟知的公式在矩阵理论里并不成立.

2. 伴随矩阵

设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$, 将矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 所在的第行第j列元素划去后, 剩余的各元素按原来的排列顺序组成的 $\mathrm{n}-1$ 阶 矩阵所确定的行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式, 记为 $M_{ij}$, 称 $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。

方阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$ 的各元素的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的如下矩阵 $A^{\ast }$ :
$$\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}$$
该矩阵 $A^{\ast }$ 称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵

1. $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$.
2. 若 $|A|\ne 0$, 则 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$.

3. 逆矩阵

1. 设 $A,B$ 为方阵, 若 $AB=E$, 则 $A,B$ 可 逆, 且互为逆矩阵. 更一般地, 对方阵而言, 若 ${\mathbf{A}}_1{\mathbf{A}}_2\cdots {\mathbf{A}}_k=\lambda \mathbf{E}$ 且 $\lambda \ne 0$, 则矩阵 ${\mathbf{A}}_1,{\mathbf{A}}_2,\cdots ,{\mathbf{A}}_k$ 都是 可逆的.
2. 逆矩阵在运算中实现了除法的功能. 在矩阵中没有除法, 或者说, 我们通过引入逆矩阵, 避免了对除 法的讨论.
   对于任意的 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 都有 $\mathbf{A}\mathbf{E}=\mathbf{E}\mathbf{A}=\mathbf{A}$. 从乘法的角度来看, $n$ 阶单位矩阵 $\mathbf{E}$ 在矩阵中的地位 类似于 1 在复数中的地位. 一个复数 $a\ne 0$ 的倒数可以用等式 $a{a}^{-1}=1$ 来刻划, 相仿地, 我们引入记号 $A^{-1}$ 表示 $A$ 的逆矩阵, 并且满足 $A{A}^{-1}=E$. 记号 $A^{-1}$ 是特定的, 它不能写成 $\frac{1}{A}$.
3. 矩阵可逆的几个等价说法: 设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵,
   • 矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆 $⟺|\mathbf{A}|\ne 0⟺\mathbf{A}$ 为非奇异矩阵.

4. 常见重要结论

• $|\lambda \mathbf{A}|={\lambda }^n|\mathbf{A}|$. 其中 $n$ 是方阵 $\mathbf{A}$ 的阶数.
• $(\mathbf{AB}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$.
• $(\mathbf{AB}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$.
• ${\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right),(ad-bc\ne 0)$.
• $\left|\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_1& & & \\ & {\mathbf{A}}_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\mathbf{A}}_k\end{array}\right|=\left|{\mathbf{A}}_1\right|\left|{\mathbf{A}}_2\right|\cdots \left|{\mathbf{A}}_k\right|$
• ${\left(\begin{array}{ll}\mathbf{O}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{O}\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{O}& {\mathbf{B}}^{-1}\\ A^{-1}& \mathbf{O}\end{array}\right).$
• $\left|\begin{array}{cc}\mathbf{O}& {\mathbf{A}}_{m\times m}\\ {\mathbf{B}}_{n\times n}& \mathbf{O}\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$. ( 将 $\mathbf{A}$ 所在行的最后一行开始, 与 $\mathbf{B}$ 所在的 $n$ 行进行相邻互换, 共进行 $m\times n$ 次互换后, 得到 $\left|\begin{array}{cc}{\mathbf{B}}_{n\times n}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{A}}_{m\times m}\end{array}\right|$.)

2.2 题型举例

1. 矩阵运算

例： 已知 $\mathbf{\alpha }=(1,2,3),\mathbf{\beta }=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)$, 设 $\mathbf{A}={\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }$, 求 ${\mathbf{A}}^n$.

解
$${\mathbf{A}}^n={\left({\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }\right)}^n={\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}{\left(\mathbf{\beta }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\right)}^{n-1}\mathbf{\beta }=3^{n-1}{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }=3^{n-1}\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ 2& 1& \frac{2}{3}\\ 3& \frac{3}{2}& 1\end{array}\right)$$

例： 设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$, 而 $n$ 为正整数, 求 ${\mathbf{A}}^n-2{\mathbf{A}}^{n-1}.(n⩾2)$

解 由 ${\mathbf{A}}^2=\left(\begin{array}{lll}2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{array}\right)=2\mathbf{A}$, 得
$$A^n-2A^{n-1}=A^{n-2}\left(A^2-2A\right)=O.$$

例： 设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right),\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$, 其中 $\mathbf{P}$ 为三阶可逆矩阵, 求 ${\mathbf{B}}^{2008}-2{\mathbf{A}}^2$.

解 由 ${\mathbf{A}}^2=\left(\begin{array}{ccc}-1& & \\ & -1& \\ & & 1\end{array}\right)$, 且 ${\mathbf{A}}^4=\mathbf{E}$, 得
$${\mathbf{B}}^{2008}-2{\mathbf{A}}^2={\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}^{2008}\mathbf{P}-2{\mathbf{A}}^2={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{P}-2{\mathbf{A}}^2=\left(\begin{array}{ccc}3& & \\ & 3& \\ & & -1\end{array}\right)$$

2. 伴随矩阵

例： 设矩阵 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵 ${\mathbf{A}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& -3& 0& 8\end{array}\right)$, 且 $\mathbf{AB}{\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{B}{\mathbf{A}}^{-1}+3\mathbf{E}$, 求矩阵 $\mathbf{B}$.

解： 在 $\mathbf{AB}{\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{B}{\mathbf{A}}^{-1}+3\mathbf{E}$ 两边同时右乘 $\mathbf{A}$, 得
$$\mathbf{AB}=\mathbf{B}+3\mathbf{A}$$
再两边左乘 $A^{\ast }$, 得
$$|\mathbf{A}|\mathbf{B}={\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{B}+3|\mathbf{A}|\mathbf{E}\text{, 即 }\left(|\mathbf{A}|\mathbf{E}-{\mathbf{A}}^{\ast }\right)\mathbf{B}=3|\mathbf{A}|\mathbf{E}.$$
注意到 $\left|{\mathbf{A}}^{\ast }\right|=|\mathbf{A}{|}^{n-1}$, 由题设得 $|\mathbf{A}|=2$. 所以 $\left(2\mathbf{E}-{\mathbf{A}}^{\ast }\right)\mathbf{B}=6\mathbf{E}$, 得
$$\mathbf{B}=6{\left(2\mathbf{E}-{\mathbf{A}}^{\ast }\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}6& 0& 0& 0\\ 0& 6& 0& 0\\ 6& 0& 6& 0\\ 0& 3& 0& -1\end{array}\right)$$

3. 逆矩阵

例： 已知 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 满足 $\mathbf{B}=(\mathbf{E}+\mathbf{A}{)}^{-1}(\mathbf{E}-\mathbf{A})$, 证明: $\mathbf{E}+\mathbf{B}$ 可逆, 并求其逆. 若 $\mathbf{A}=$ $\left(\begin{array}{rrrr}1& 0& 0& 0\\ -2& 3& 0& 0\\ 0& -4& 5& 0\\ 0& 0& -6& 7\end{array}\right)$, 求 $(\mathbf{E}+\mathbf{B}{)}^{-1}$.

解：

(方法一) 由 $B=(E+A{)}^{-1}(E-A)$, 两边左乘 $E+\mathbf{A}$ 得
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{B}+\mathbf{AB}=\mathbf{E}-\mathbf{A},\\ \Rightarrow & (\mathbf{E}+\mathbf{A})\mathbf{B}+\mathbf{E}+\mathbf{A}=2\mathbf{E},\\ \Rightarrow & (\mathbf{E}+\mathbf{A})(\mathbf{E}+\mathbf{B})=2\mathbf{E}.\end{array}$$
故 $\mathbf{E}+\mathbf{B}$ 可逆, 且 $(\mathbf{E}+\mathbf{B}{)}^{-1}=\frac{1}{2}(\mathbf{E}+\mathbf{A})$.

(方法二) 由 $B=(E+A{)}^{-1}(\mathbf{E}-\mathbf{A})$, 得
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{B}=(\mathbf{E}+\mathbf{A}{)}^{-1}(2\mathbf{E}-(\mathbf{E}+\mathbf{A})),\\ \Rightarrow & \mathbf{B}=2(\mathbf{E}+\mathbf{A}{)}^{-1}-\mathbf{E},\\ \Rightarrow & \mathbf{B}+\mathbf{E}=2(\mathbf{E}+\mathbf{A}{)}^{-1}.\end{array}$$
故 $\mathbf{E}+\mathbf{B}$ 可逆, 且 $(\mathbf{E}+\mathbf{B}{)}^{-1}=\frac{1}{2}(\mathbf{E}+\mathbf{A})=\left(\begin{array}{rrrr}1& 0& 0& 0\\ -1& 2& 0& 0\\ 0& -2& 3& 0\\ 0& 0& -3& 4\end{array}\right)$.

.