【概率论基础进阶】随机变量及其分布-常用分布

一、$0-1$分布

定义：如果随机变量$X$有分布律

二、二项分布

定义：如果随机变量$X$有分布律
P { X = k } = C n k p k q n − k , k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , n P \left\{X=k\right\}=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k},k=0,1,2,\cdots ,n P{X=k}=Cnk​pkqn−k,k=0,1,2,⋯,n
其中$0<p<1,q=1-p$，则称$X$服从参数为$n,p$的二项分布，记作$X\sim B(n,p)$

在$n$重伯努利试验中，若每次实验成功率为$p(0<p<1)$，则在$n$次独立重复试验中成功的总次数$X$服从二项分布

当$n=1$时，不难验证二项分布就退化成$0-1$分布。所以$0-1$分布也可以记为$B(1,p)$

三、几何分布

定义：如果随机变量$X$有分布律
P { X = k } = p q k − 1 , k = 1 , 2 , ⋯ P \left\{X=k\right\}=pq^{k-1},k=1,2,\cdots P{X=k}=pqk−1,k=1,2,⋯
其中$0<p<1,q=1-p$，则称$X$服从参数为$p$的几何分布，或称$X$具有几何分布

在独立地重复做一系列伯努利试验中，若每次试验成功率为$p(0<p<1)$，则在第$k$次试验时才首次试验成功的概率服从几何分布

四、超几何分布

定义：如果随机变量$X$有分布律
P { X = k } = C M k C N − M n − k C N n , k = l 1 , ⋯   , l 2 P \left\{X=k\right\}= \frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}},k=l_{1},\cdots ,l_{2} P{X=k}=CNn​CMk​CN−Mn−k​​,k=l1​,⋯,l2​
其中$l_1=\max (0,n-N+M),l_2=\min (M,n)$。则称随机变量$X$服从参数为$n,N,M$的超几何分布

如果$N$件产品中含有$M$件次品，从中任意一次取出$n$件（或从中一件接一件不放回地取出$n$件），令$X=抽取的n件产品中的次品件数$，则$X$服从参数为$n,N,M$的超几何分布

如果$N$件产品中含有$M$件次品，从中一件接一件有放回的取$n$次（即每次取出记录后就放回，再取下一个），则$X$服从$B(n,\frac{M}{N})$

五、泊松分布

如果随机变量$X$的分布律为
P { X = k } = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , 2 , , ⋯ P \left\{X=k\right\}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,,\cdots P{X=k}=k!λk​e−λ,k=0,1,2,,⋯
其中$\lambda >0$为常数，则称随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记作$X\sim P(\lambda )$

对于泊松分布有
∑ k = 0 + ∞ P { X = k } = ∑ k = 0 + ∞ λ k k ! e − λ = 1 ∑ k = 0 + ∞ λ k k ! = e λ 如果把 λ 看做 x ∑ k = 0 + ∞ x k k ! = e x

k=0∑+∞​P{X=k}=k=0∑+∞​k!λk​e−λk=0∑+∞​k!λk​k=0∑+∞​k!xk​​=1=eλ如果把λ看做x=ex​
即为$e^x$的幂级数展开

例1：设一文本各页的印刷错误$X$服从泊松分布。已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随意抽查的$4$页中无印刷错误的概率$p=()$

注意理解题意！

P { X = 1 } = P { X = 2 } λ 1 ! e − λ = λ 2 2 ! e − λ

P{X=1}1!λ​e−λ​=P{X=2}=2!λ2​e−λ​
解得$\lambda =2$，则某也没有印刷错误的概率为 P { X = 0 } = e − 2 P \left\{X=0\right\}= e^{-2} P{X=0}=e−2。可以理解各页印刷错误相互独立
$$p=(e^{-2}{)}^4=e^{-8}$$

不独立就不能往下算了

六、均匀分布

定义：如果连续型随机变量$X$的概率密度为
f ( x ) = { 1 b − a a ≤ x ≤ b 0 其他 f(x)=\left\{

\right. f(x)=⎩ ⎨ ⎧​​b−a1​0​a≤x≤b其他​
则称$X$在区间$[a,b]$上服从均匀分布，记作$X\sim U[a,b]$

如果概率密度为
f ( x ) = { 1 b − a a < x < b 0 其他 f(x)=\left\{

\right. f(x)=⎩ ⎨ ⎧​​b−a1​0​a<x<b其他​
则称$X$在区间$(a,b)$上服从均匀分布，记作$X\sim U(a,b)$

无论$X\sim U[a,b]$或$X\sim U(a,b)$，它们的分布函数均为
F ( x ) = { 0 , x < a x − a b − a a ≤ x < b 1 b ≤ x F(x)=\left\{

\right. F(x)=⎩ ⎨ ⎧​​0,b−ax−a​1​x<aa≤x<bb≤x​

性质

设$X\sim U[a,b]$，则对$a\le c<d\le b$有
P { c ≤ X ≤ d } = d − c b − a P \left\{c \leq X \leq d\right\}=\frac{d-c}{b-a} P{c≤X≤d}=b−ad−c​
即随机变量$X$落入区间$[c,d]$的概率等于该区间长度与$[a,b]$长度之比

七、指数分布

定义：如果连续型随机变量$X$的概率密度为
f ( x ) = { λ e − λ x x > 0 0 x ≤ 0 , λ > 0 f(x)=\left\{

\right.,\lambda>0 f(x)={​λe−λx0​x>0x≤0​,λ>0
则称$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，记作$X\sim E(\lambda )$

设$X\sim E(\lambda )$，则$X$的分布函数为
F ( x ) = { 1 − e − λ x x > 0 0 x ≤ 0 , λ > 0 F(x)=\left\{

\right.,\lambda>0 F(x)={​1−e−λx0​x>0x≤0​,λ>0

性质

设$X\sim E(\lambda )$，则有

• P { X > t } = ∫ t + ∞ λ e − λ t d t = e − λ t , t > 0 P \left\{X>t\right\}=\int_{t}^{+\infty}\lambda e^{-\lambda t}dt=e^{-\lambda t},t>0 P{X>t}=∫t+∞​λe−λtdt=e−λt,t>0
• P { X > t + s ∣ X > s } = P { X > t + s } P { X > s } = e − λ ( t + s ) e − λ s = e − λ t = P { X > t } , t , s > 0 P \left\{X>t+s|X>s\right\}=\frac{P \left\{X>t+s\right\}}{P \left\{X>s\right\}}=\frac{e^{-\lambda(t+s)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P \left\{X>t\right\},t,s>0 P{X>t+s∣X>s}=P{X>s}P{X>t+s}​=e−λse−λ(t+s)​=e−λt=P{X>t},t,s>0
  此性质称为指数分布具有无记忆性

八、正态分布

定义：如果随机变量$X$的概率密度为
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<+\infty$$
其中$\mu ,\sigma$为常数且$\sigma >0$，则称$X$服从参数为$\mu ,\sigma$的正态分布，记作$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$
当$\mu =0,{\sigma }^2=1$时，即$X\sim N(0,1)$，称$X$服从标准正态分布，此时用$\varphi (x)$表示$X$的概率密度，即
$$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}},-\infty <x<+\infty$$

标准化$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则$\frac{x-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，其分布函数为
$$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt$$
当$X\sim N(0,1)$时，分布函数用$\Phi (x)$表示
$$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

性质

设$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，其分布函数为$F(x)$，则

• F ( x ) = P { X ≤ x } = P { X − μ σ ≤ x − μ σ } = Φ ( x − μ σ )
  F(x)=P{X≤x}=P{X−μσ≤x−μσ}=Φ(x−μσ)" role="presentation" style="position: relative;">F(x)=P{X≤x}=P{X−μσ≤x−μσ}=Φ(x−μσ)$$\begin{array}{r}F(x)=P\left\{X\le x\right\}=P\left\{\frac{X-\mu }{\sigma }\le \frac{x-\mu }{\sigma }\right\}=\mathrm{\Phi }(\frac{x-\mu }{\sigma })\end{array}$$
  F(x)=P{X≤x}=P{σX−μ​≤σx−μ​}=Φ(σx−μ​)​
• P { a < X ≤ b } = Φ ( b − μ σ ) − Φ ( a − μ σ ) , a < b
  P{a<X≤b}=Φ(b−μσ)−Φ(a−μσ),a<b" role="presentation" style="position: relative;">P{a<X≤b}=Φ(b−μσ)−Φ(a−μσ),a<b$$\begin{array}{r}P\left\{a<X\le b\right\}=\mathrm{\Phi }\left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\mathrm{\Phi }\left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right),a<b\end{array}$$
  P{a<X≤b}=Φ(σb−μ​)−Φ(σa−μ​),a<b​
• 概率密度$f(x)$关于$x=\mu$对称，$\varphi (x)$是偶函数
• $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$，也就有$\Phi (0)=\frac{1}{2}$
• 当$X\sim N(0,1)$且$a>0$时， P { ∣ X ∣ ≤ a } = 2 Φ ( a ) − 1
  P{|X|≤a}=2Φ(a)−1" role="presentation" style="position: relative;">P{|X|≤a}=2Φ(a)−1$$\begin{array}{r}P\left\{|X|\le a\right\}=2\mathrm{\Phi }(a)-1\end{array}$$
  P{∣X∣≤a}=2Φ(a)−1​

例2：设随机变量$X_1\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),X_2\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，且 P { ∣ X 1 − μ 1 ∣ < 1 } > P { ∣ X 2 − μ 2 ∣ < 1 } P \left\{|X_{1}-\mu_{1}|<1\right\}>P \left\{|X_{2}-\mu_{2}|<1\right\} P{∣X1​−μ1​∣<1}>P{∣X2​−μ2​∣<1}，证明${\sigma }_1<{\sigma }_2$

一维正态题做题步骤：查表，标准化，对称性，定参数或系数

P { ∣ X 1 − μ 1 ∣ < 1 } = P { ∣ X 1 − μ 1 σ 1 ∣ ≤ 1 σ 1 } = 2 Φ ( 1 σ 1 ) − 1 P { ∣ X 2 − μ 2 ∣ < 1 } = 2 Φ ( 1 σ 2 ) − 1

P{∣X1​−μ1​∣<1}P{∣X2​−μ2​∣<1}​=P{∣ ∣​σ1​X1​−μ1​​∣ ∣​≤σ1​1​}=2Φ(σ1​1​)−1=2Φ(σ2​1​)−1​
由题意，有
2 Φ ( 1 σ 1 ) − 1 > 2 Φ ( 1 σ 2 ) − 1 1 σ 1 > 1 σ 2 σ 1 < σ 2

2Φ(1σ1)−1>2Φ(1σ2)−11σ1>1σ2σ1<σ2" role="presentation" style="position: relative;">2Φ(1σ1)−11σ1σ1>2Φ(1σ2)−1>1σ2<σ2$$\begin{array}{rl}2\mathrm{\Phi }\left(\frac{1}{{\sigma }_1}\right)-1& >2\mathrm{\Phi }\left(\frac{1}{{\sigma }_2}\right)-1\\ \frac{1}{{\sigma }_1}& >\frac{1}{{\sigma }_2}\\ {\sigma }_1& <{\sigma }_2\end{array}$$

2Φ(σ1​1​)−1σ1​1​σ1​​>2Φ(σ2​1​)−1>σ2​1​<σ2​​