普及组算法汇总

名词

OI: olympiad in informatics 信息学奥林匹克竞赛

IOI: international olympiad in informatics 国际信息学奥林匹克竞赛

NOI: national olympiad in informatics 全国信息学奥林匹克竞赛

NOIP: national olympiad in informatics in province 全国信息学奥林匹克竞赛省赛

CSP: 非专业计算机能力认证 -J, -S。

J: junior: 低级的

S: senior: 高级的

进入提高组复赛，且得分非0的选手可以参加NOIP

CCF: China computer fundation 中国计算机协会

SMTP: 简单邮件传输协议(simple mail transport protocol)

POP3: 邮局协议版本3(Post Office Protocol - Version 3)

IMAP: 交互邮件访问协议（Internet Message Access Protocol)

小知识

面向过程: 只有C语言面向对象: 除了C语言的所有语言(C++, python, Java)

编译型语言和解释型语言编译型语言: C,C++,Pascal解释型语言: python, Java, PHP

计算机系统windows系统类unix系统: 除了windows系统以外的所有系统: android, ios, macOS, linux...

码

原码、反码、补码：8位二进制数表示的有符号整数

最左边一位是符号位(1:负数,0:正数)

反码: 原码的符号位不变，其他位取反

补码: 反码+1

补码:10101011

反码:10101010

原码:11010101

==> -85

-52

原码:10110100

反码:11001011

补码:11001100

运算符

$x << y = x \times 2^{y}$

$x >> y = \frac{x}{2^{y}}$

&	按位与操作，按二进制位进行"与"运算。运算规则： 0&0=0; 0&1=0; 1&0=0; 1&1=1;	(A & B) 将得到 12，即为 0000 1100
\|	按位或运算符，按二进制位进行"或"运算。运算规则： 0\|0=0; 0\|1=1; 1\|0=1; 1\|1=1;	(A \| B) 将得到 61，即为 0011 1101
^	异或运算符，按二进制位进行"异或"运算。运算规则： 0^0=0; 0^1=1; 1^0=1; 1^1=0;	(A ^ B) 将得到 49，即为 0011 0001
~	取反运算符，按二进制位进行"取反"运算。运算规则： ~1=-2; ~0=-1;	(~A ) 将得到 -61，即为 1100 0011，一个有符号二进制数的补码形式。
<<	二进制左移运算符。将一个运算对象的各二进制位全部左移若干位（左边的二进制位丢弃，右边补0）。	A << 2 将得到 240，即为 1111 0000 $x << y = x \times 2^{y}$
>>	二进制右移运算符。将一个数的各二进制位全部右移若干位，正数左补0，负数左补1，右边丢弃。	A >> 2 将得到 15，即为 0000 1111 $x >> y = \frac{x}{2^{y}}$

$\lor$ :或 -> 只要有一个为真，则表达式为真

$\land$ :且 -> 两个都是真才为真，有一个假为假

$﹃（ \neg ）$ ：非 -> 假为真，真为假

名称（按优先级从高到低）	符号	顺序
后缀	() [] -> . ++ - -	从左到右
一元	+ - ! ~ ++ - - (type)* & sizeof	从右到左
乘除	* / %	从左到右
加减	+ -	从左到右
移位	<< >>	从左到右
关系	< <= > >=	从左到右
相等	== !=	从左到右
位与 AND	&	从左到右
位异或 XOR	^	从左到右
位或 OR	\|	从左到右
逻辑与 AND	&&	从左到右
逻辑或 OR	\|\|	从左到右
条件	?:	从右到左
赋值	= += -= *= /= %=>>= <<= &= ^= \|=	从右到左
逗号	,	从左到右

数学知识

集合论基础

集合：若干个互异无序元素。集合有两种记录方法，如 $A = {1, 2, 3}, T = {i | i 为偶数}$
空集：没有函数的集合。计作： $\emptyset$
属于与不属于: 表示一个元素是否属于该集合。如 $1 \in A, 4 \notin A$
子集：如果集合A中包含集合B中的所有元素，则称B为A的子集。记作 $B \subset A$ 。若A不是B的子集，记为 $A ⊄ B$ 。
真子集：如果B是A的子集，且B与A并不相等，则称B是A的真子集。记作 $B \subseteq A$ 。若A不是B的真子集，记为 $A ⊈ B$ 。
并集：字面意思为将两个集合合并后的结果。即如果元素x在集合A或集合B中，那么x在集合A与集合B的并集中。A与B的并集可以记作 $X = A \cup B$
交集：字面意思为两个集合相交的部分。即如果元素x既在集合A中，又在集合B中。那么元素x在集合A与B的交集中。A与B的交集可以记作 $Y = A \cap B$ 。

区间：区间是一种特殊的集合，表示一个连续的部分的所有元素。如 $[1, 2] 、 (4, 5) 、 [9, 10) 、 (2, + \infty)$
闭区间、开区间与半开半闭区间：
用[]表示的是闭区间，表示区间左右两端的元素都在集合中，如 $[1, 2]$ ，1也是集合的一个元素；
用()表示的是开区间，表示区间左右两端的元素都不在集合中，如 $(4, 5)$ ，4和5都不在集合中；
一边中括号一边小括号的是半开半闭区间，中括号那一端的元素在集合中，小括号那一端的不在集合中。
带有无穷符号的区间：有 $+ \infty$ 与 $- \infty$ 。无穷符号那一端的必须是小括号，且正无穷的正号不能省略。
几个重要的集合: 实数集： $R$ , 自然数集合： $N$ , 整数集合: $Z$ , 正整数集合: $N^{+}$
集合与不等式的转化：如 $1 \leq x \leq 10$ 可以写成 $[1, 10]$ ， $x > 3$ 可以写成 $(3, + \infty)$

概率论基础

事件：一个不受主观意念控制的事情。如“天要下雨”，"彩票中一千万", "CSP初赛全部靠蒙考满分", "明天太阳照常升起"是事件，"我今天吃肯德基", "CSP凭实力0分", "我晚上通宵写代码"不是事件。在概率论中，我们常用一个字母表示一个事件，如事件A为天要下雨。
概率：事件发生的可能性。一般用P表示，事件A发生的概率记为P(A) 。
频数与频率。在计算一个事件发生的概率时，需要进行多次随机试验。事件发生的次数就是频次，事件发生频次的比例就是频率。如事件A为扔硬币扔出正面。我扔了10次硬币，9次正面，则频次为9，频率为90%。
积事件：若事件C为事件A与事件B同时发生，那么事件C就是事件A与事件B的积事件。记为 $C = A \cap B$ ， $P (C) = P (A \cap B) = P (A B)$
独立事件：两个事件的发生没有相关关系，则这两个事件为独立事件。如"今天下雨"与"扔硬币扔出正面"是独立事件。"今天下雨"与"今天空气湿度高于50%"不是独立事件。
独立事件的概率： $P (A B) = P (A) \cdot P (B)$ 。注意只有事件A与B独立该式才成立。
和事件的概率： $P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B)$ 。和事件为两个事件至少发生一个的概率。
条件概率： $P (A | B)$ 表示在B事件发生的条件下，A事件发生的概率。即“如果今天下雨，门口路上堵车的概率。”、“扔一次骰子扔出的数字是偶数，那么扔出的数字是2的概率”。
贝叶斯公式： $P (A B) = P (A | B) \cdot P (B) = P (B | A) \cdot P (A)$
互斥事件：不可能同时发生的事件。如“扔一次骰子扔出1”与“扔一次骰子扔出2”，“扔一次硬币为正面”与“扔一次硬币为反面”。
对立事件：其中至少一个会发生的互斥事件。如”扔一次骰子扔出1“与“扔一次骰子扔出2”不是对立事件，“扔一次硬币为正面”与“扔一次硬币为反面”是对立事件。事件 $A$ 的对立事件记为 $\bar{A}$ 。那么 $P (A) + P (\bar{A}) = 1$ 。
全概率公式： $P (A) = P (A | B) \cdot P (B) + P (A | \bar{B}) \cdot P (\bar{B})$
数学期望：随机事件的结果。如果一个随机试验会出现多种结果（或事件） $X_{1}, X_{2}, . . ., X_{i}$ ，每种事件可以获得 $V_{i}$ 的收益。那么随机试验 $X$ 的数学期望为 $E (X) = \sum_{i = 1}^{n} P (X_{i}) \cdot V_{i}$ 。

平面直角坐标系

平面直角坐标系由横轴与纵轴组成。横轴为x轴，纵轴为y轴，点的坐标由括号组成的二元组表示，如(x, y)。
点A对x轴作垂线到达的位置为A的横坐标，对y轴作垂线到达的位置为B的纵坐标。

三角函数

勾股定理：在直角三角形中，假设三条边长度为 $a, b, c (a \leq b < c)$ 。则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 。
"小角对小边"：在直角三角形中，角度较小的角所对的边较短
角度制：一种表示角度的方法，一般写为 $30^{\circ}, 75^{\circ}$ 等。
单位圆：圆心在原点，半径为1的圆。
弧度制：高中的数学表示方法。角对应的单位圆上弧的长度
$π = 180^{\circ}$
正弦 $\sin θ$ : 角 $θ$ 对边与斜边的比值，余弦 $\cos θ$ : 角 $θ$ 邻边与斜边的比值，正切 $\tan$ : 角 $θ$ 对比与邻边的比值
反三角函数: 反正弦函数 $\arcsin x$ : 反余弦函数 $\arccos x$ : 反正切函数 $\arctan x$ 。

组合数学

排列： $A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!}$ （顺序有关）

组合： $C_{n}^{m} = \frac{n!}{m! (n - m)!}$ （顺序无关）

$C_{n}^{m} = (C_{n \div p}^{m \div p}) (C_{n \mod p}^{m \mod p})$

$h (n) = h (0) \times h (n - 1) + h (1) \times h (n - 2) + \dots \dots + h (n - 1) \times h (0)$

$= \sum h (i) \times h (n - i - 1)$

$h (n) = C_{2 n}^{n} - C_{2 n}^{n + 1}$

$h (n) = \frac{C_{2 n}^{n}}{n + 1}$

圆排列： $A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!} \div m$

错排序： $D (n) = n! (\frac{(- 1)^{2}}{2!} + \frac{(- 1)^{3}}{3!} + \dots + \frac{(- 1)^{n}}{n!}) = n! \sum_{k = 2}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k!} = [\frac{n!}{e} + \frac{1}{2}]$

树

存树

双亲表示法

记录某个节点的父节点。（根表示为-1）

孩子表示法

用链表来表示每个节点的所有子节点。

孩子兄弟表示法

存储每个节点的子节点和兄弟节点。

二叉排序(查找)树(binary search tree)

对于二叉树的任意一个节点，左子树的所有结点都比他小，右子树所有节点都比他大。

其中序遍历是严格递增的。

平衡 bst

深度为 $\log n$ 的二叉树，查找一个点的时间复杂度为 $O (\log n)$ 。

欧拉道路

度数为奇数的点为 $0$ 或 $2$ 。

欧拉回路

度数为奇数的点为 $0$ 。

保留小数

#include 
cout <setprecision(2) <printf("%.2f",a);

数组(array)

int/double …… a[1005];      //设置数组a，类型为int/double……（变量类型 数组名[数组长度]）
a[n]=n                   //将数组a的第n个赋值为n
cout <//输出数组a的第n个
arr[100]={0};            //将数组arr全设为0
arr[100]={n1,n2,n3};     //将数组arr的第0个赋值为n1，第1个赋值为n2,第2个赋值为n3

1.数组长度不要用变量

2.数组长度可以多几个

3.数组的第一个元素下标为0，即第0个

4.*[n]={n};时，第0个设为n,其他位都为0

排序

#include     //头文件，导入排序的库
sort(*+0,*+n+1,……)      //按比较器排序（默认从小到大排序）sort(变量名+开始排序的下标，变量名+结束排序的下标+1，比较器)
greater<int/double ……>()//从大到小排序

格式化数组

#include 
memset(*,n,sizeof(*))   //把数组的每个值变成同一个值

定义比较器

bool cmp(int x,int,y){  //布尔类型函数，名为cmp
    if(x>y){            
        return true;    //如果x大于y，返回true
    }
    else{               
        return false;   //否则返回false
    }
}

字符串（string）

#include       //头文件，导入字符串
string *;              //设置变量*，类型为string
cout <<*;              //输出变量*
getline(cin,*);        //输入一行忽略空格
*.size()               //求字符串*的长度
*.find(s)               //字符串*中第一个字符串s的位置,如果没有，返回string::npos
*.insert(index,s)       //在字符串*下标为index的位置插入字符串s
*.replace(index,length,s)  //在字符串*下标为index的位置选取长度为length的部分替换为s
*.substr(index,length) //返回字符串*从下标为index的位置开始，长度为length的部分
substring               //子字符串（必须连续）
subsequence               //子序列（可以不连续）

数学函数

#include         //头文件
pow(a,b)                //a的b次方，参数类型double，返回值类型double
max(a,b)                //a与b的最大值，参数类型相同
min(a,b)                //a与b的最小值，参数类型相同
ceil(x)                 //向上取整，参数类型double
floor(x)                //向下取整，参数类型double
round(x)                //四舍五入，参数类型double
sqrt(x)                 //开根，参数类型double，返回值类型double
__gcd(x,y)              //求x与y的最大公因数
x*y/__gcd(x,y)          //求x与y的最小公倍数

定义函数

int/double …… *(int/double …… *, ……){  //函数类型 函数名称（参数类型 参数名，……）
    ……                   //函数执行的事
    }

当出现两个相同的变量时，按就近原则使用

函数内可以调用别的函数，也可以调用自己，即递归

struct(结构体)

//定义一种新的类型
struct name{              //定义一个名为name的类型              
    int num;              //一个整数类型num
    double num2;          //一个实数类型num2
    ......                //内含的其他变量（最后不用return）
    void print(){//成员方法
    	cout <    }
    name(int num,double num2):num(_num),num2(_num2){ }//构造函数初始化
    name(){
    	num1=114514;
        num2=1919.810;//初始化
    }
    name(): ......//用冒号初始化
    name operator+(name num){//重载运算符
    	return node(y+num.x,y+num.y);
    }
};                        
/、结尾有；
name a;                   //定义一个类型为name的变量a
a.num=114514;             //变量a的num值为114514
a.num2=1919.810           //变量a的num2值为1919.810
a.print();//使用成员方法
a=(1,1.1);//初始化
name b;
a=a+b;//重载后的运算符进行运算

class(类)

class a{
	int x,y;//x和y是私有的
   public:
     void print(){
     	cout <//print()是公有的
     }
  
}

链表

struct node{
    int val;
    node *nxt;//自引用
};
int main(){
    node *head,*tail,*p;
    int x;
    cin >>x;
    //输入任意个整数，
    //在链表的末尾添加一个值为该整数的节点，
    //输入-1时结束。
    head=new node;
    tail=head;
    while(x!=-1){
        p=new node;
        //p->val <==> (*p).val;
        p->val=x;
        p->nxt=NULL;
        tail->nxt=p;
        tail=p;
        cin >>x;
    }
    //输出链表
    p=head;
    while(p->nxt!=NULL){
        p=p->nxt;
        cout <val <<" ";
    }
    return 0;
}

STL模板库

优先队列

priority_queue<int> q;//优先队列
priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> q;//从小到大
q.push();//推入
q.top();//队顶

pair

pair<int,int> x;//定义两个数据在x中
x={1,2};//初始化，形同数组
x.first=1;//第一个
x.second=2;//第二个
    
pair<int,pair<int,int>> x;//套娃
x.first;//第一个
x.second.first;//第二个
x.second.second;//第三个

set

#include 
set<int> s;//定义集合
s.insert(1);//插入
if(s.find(2)!=s.end())//查找2是否在s中

map

#include //map是映射的意思
map<int,int> mp;//一个数据对应一个数据
    mp[2]=3;
    mp[-1]=2;
    mp[114514]++;//map默认为0，可以直接使用，而且数据量大，只是慢

最短路

P3366 【模板】最小生成树

Kruskal

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int n,m,ans=0,x=1;
bool vi[200005];
typedef pair<int,int> node;
priority_queue ,greater > q;
vector e[200005];
node a[200005];
int main(){
    cin >>n >>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,l;
        cin >>u >>v >>l;
        e[u].push_back({l,v});
        e[v].push_back({l,u});
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        vi[i]=false;
    }
    vi[1]=true;
    for(int t=1;t<=n-1;t++){
        for(int i=0;isize();i++){
            q.push(e[x][i]);
        }
        while(!q.empty() && vi[q.top().second]){
            q.pop();
        }
        if(q.empty()){
            cout <<"orz";
            return 0;
        }
        ans+=q.top().first;
        x=q.top().second;
        vi[x]=true;
    }
    cout <    return 0;
}

SPFA

#include 
#include 
#include 
#include  
using namespace std;
struct node{
    int v,l;
};
queue<int> q;
vector e[100005];
int n,m,dis[100005];
int main(){
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    int n,m,x;
    cin >>n >>m >>x;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int u,v,l;
        cin >>u >>v >>l;
        node temp;
        temp.v=v,temp.l=l;
        e[u].push_back(temp);
    }
    int INF=dis[1];
    q.push(1);
    dis[1]=0;
    while(!q.empty()){
        int now=q.front();
        q.pop();
        for(int i=0;isize();i++){
            int len=e[now][i].l;
            int nxt=e[now][i].v;
            if(dis[nxt]>dis[now]+len){
                q.push(nxt);
                dis[nxt]=dis[now]+len;
            }
        }    
    }
    if(dis[x]!=INF)cout <    else cout <<-1;
    return 0;
}

~~关于SPFA,它死了~~

Dijkstra

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
struct node{
    int v, len;
};
ll dis[100005];
vector e[100005];
typedef pair<int,int> PII;
int main(){
    int n, m, x;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v, len;
        cin >> u >> v >> len;
        node temp;
        temp.v = v;
        temp.len = len;
        e[u].push_back(temp);        
    }
    priority_queue, greater > q;
    q.push({0,1});
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    long long INF = dis[0];
    dis[1] = 0;
    while (!q.empty()) {
        while (!q.empty() && q.top().first > dis[q.top().second]) q.pop();
        if (q.empty()) break;
        int now = q.top().second;
        q.pop();
        for (int i = 0; i < e[now].size(); i++) {
            int nxt = e[now][i].v;
            int len = e[now][i].len;
            if (dis[nxt] > dis[now] + len) {
                q.push({dis[now]+len, nxt});
                dis[nxt] = dis[now] + len;
            }
        } 
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (dis[i] != INF) cout << dis[i] << ' ';
        else cout << -1 << ' ';
    }
    return 0;
 }

Floyd

for(int k=1;k<=n;k++){
	for(int i=1;i<=n;i++){
      for(int j=1;j<=n;j++){
      		f[i][j]=min(f[i][k],f[i][j]+f[k][j;
      }
   }
}

传递闭包

for(int k=1;k<=n;k++){
	for(int i=1;i<=n;i++){
      for(int j=1;j<=n;j++){
      		f[i][j]|=f[i][j]&f[k][j;
      }
   }
}

质数筛

1.普通筛法

最普通的筛法，也就是将前 $n$ 个正整数一个一个来判断是否为素数，并且在判断素数的时候要从 $2$ 枚举到 $n - 1$ 来判断。

CODE

for(int i=1;i<=n;++i){//枚举1到n
    bool flag=false;
    for(int j=2;j//枚举2到i
        if(i%j==0){//如果i%j=0,也就是i已经不为素数了
            flg=1;//打上标记
            break;//跳出循环，不用再枚举了
        }
    }
    if(!flag)prime[i]=1;//如果没有被打上标记,标记这个数是素数。
}

这样的时间复杂度为 $O (n^{2})$ 。

2.普通筛法的优化

学过奥数的朋友们可能会发现，在判断素数的时候，不一定需要枚举到 $i - 1$ 只需要枚举到 $\sqrt{n}$ 就可以判断出来了。

CODE

for(int i=1;i<=n;i++){//枚举1到n
    bool flag=false;
    for(int j=2;j*j<=i;j++){//枚举2到i
        if(i%j==0){//如果i%j=0,也就是i已经不为素数了
            flag=true;//打上标记
            break;//跳出循环，不用再枚举了
        }
    }
    if(!flag)prime[i]=1;//如果没有被打上标记,标记这个数是为素数。
}

这样的时间复杂度为 $O (n \sqrt{n})$ 。

3.埃氏筛

我们发现，上面两种筛法会筛到许多没有意义的数，所以我们必须换一种思想方式。

埃氏筛，就是先将 $p r i m e$ 数组全部赋值为 $1$ 。(记得将 $p r i m e_{i}$ 赋值为 $0$ )。仍然是要从 $1$ 枚举到 $n$ 。我们先假设当前枚举到了 $i$ 。

如果 $p r i m e_{i} = 1$ 也就是 $i$ 为质数，则我们可以知道 $i$ 的倍数均为合数，所以我们就将 $p r i m e_{i \times k (2 \leq k < n)}$ 赋值为 $0$ 。

最终筛完之后，如果 $p r i m e_{i} = 1$ , $i$ 就是质数。

CODE

memset(prime,1,sizeof(prime));
priem[1]=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
    if(prime[i]){
        for(int j=2;j*i<=n;++j){
            prime[i*j]=0;
        }
    }
}

这样的时间复杂度为 $O (n l o g n)$

4.欧拉筛(线性筛)

我们发现，埃氏筛已经很快了，但是还是有所不足。

因为在埃氏筛中，有很多数有可能被筛到很多次（例如 $6$ ,他就被 $2$ 和 $3$ 分别筛了一次）。所以在欧拉筛中，我们就是在这个问题上面做了优化，使得所有合数只被筛了一次。

首先，我们定义 $s t_{i}$ 数组表示 $i$ 是否为质数， $p r i m e s_{i}$ 储存已经找到的所有质数， $c n t$ 储存当前一共找到了多少质数。

如果当前已经枚举到了 $i$ 。如果 $s t_{i} = 1$ ，也就是 $i$ 为素数。则 $p r i m e s_{c n t + 1} = i$ 。

然后我们每一次枚举都要做这个循环: 枚举 $j$ 从 $1$ 到 $c n t$ 。 $s t_{p r i m e s j \times i} = 0$ （因为 $p r i m e s_{j}$ 为素数， $i$ 就表示这个素数的多少倍，要把他筛掉。

注意，接下来是重点！如果 $i \mod p r i m e s_{j} = 0$ ，跳出第二层循环。(因为欧拉筛默认每一个合数只能由他的最小质因数筛去，而满足以上条件之后， $p r i m e s_{j}$ 就不是这个数字的最小质因数了，所以我们跳出第二层循环)。因此，有了这一层优化之后，每一个合数就只能被筛掉一次了。

CODE

memset(st,0,sizeof(st));
st[1]=0;
for(i=2;i<=n;i++){
    if(st[i]){
        primes[cnt++]=i;
        for(j=0;primes[j]*i<=n&&j<=cnt;j++){
            st[primes[j]*i]=0;
            if(i%primes[j]==0)break;
        }
    }
}

这样的时间复杂度为 $O (n)$

DFS

输入两个整数 $n, m$ ，然后输入 $n$ 个整数，你可以从中选择一些数字，问有多少种方案可以让选择的数字和为 $m$ 。

若方案A与方案B选择的数字中，有一个位置上的数字A选择了，但B没有选择，我们就认为两种方案不同，此时方案数是多少？

#include 
using namespace std;
int a[105],n,ans,m;
void f(int now,int sum){
	if(now==n+1){
        if(sum==m){
            ans++;
        }
        return ;
    }
    f(now+1,sum+a[now]);
    f(now+1,sum);
}
int main(){
    cin >>n >>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin >>a[i];
    }
    f(1,0);
    cout <    return 0;
}

若方案A与方案B选择的所有数字都相同，我们就认为两种方案相同。此时方案数是多少？

#include 
#include 
using namespace std;
int a[105],n,ans,m;
bool flag;
void f(int now,int sum,bool flag){
    if(now==n+1){
        if(sum==m){
            ans++;
        }
        return ;
    }
    if(a[now-1]!=a[now] || flag){
        f(now+1,sum+a[now],flag=true);
    }
    f(now+1,sum,flag=false);
}
int main(){
    cin >>n >>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin >>a[i];
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    f(1,0,true);
    cout <}

给定一个 $n * m$ 的矩阵，输入两个整数 $n, m (1 \leq n, m \leq 10)$ 为矩阵的行数和列数，然后输入n行，每行m个数字，每个数字 $- 1000 \leq a_{i, j} \leq 1000$ 。

求从 $(1, 1)$ 走到 $(n, m)$ 的所有路径中，路径上所有数字之和最大可以是多少。

#include 
using namespace std;
int a[1005][1005],n,m,x1,y1,x2,y2,de_x[2]={1,0},de_y[2]={0,1},ans=-1e9;
bool found=false,flag[1005][1005];
bool c(int x,int y){
    if(x<=0 || x>n || y<=0 ||y >m)return false;//必须在最前面 
    if(flag[x][y])return false;
    return true;
}
void f(int x,int y,int nows){
    if(x==n && y==m){
        ans=max(ans,nows);
        return ;
    }
    flag[x][y]=true;
    for(int i=0;i<4;i++){
        int nx=x+de_x[i];
        int ny=y+de_y[i];
        if(c(nx,ny)){
            f(nx,ny,nows+a[nx][ny]);
        }
    }
    flag[x][y]=false;
}
int main(){
    cin >>n >>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cin >>a[i][j];
        }
    }
    f(1,1,a[1][1]);
    cout <    return 0;
}

给定一个 $n * m$ 的01矩阵，输入两个整数 $n, m (1 \leq n, m \leq 1000)$ 为矩阵的行数和列数，然后输入n行，每行m个数字，每个数字为0或1.其中0表示通路，1表示墙壁。

输入四个整数 $x 1, y 1, x 2, y 2$ ，问从 $(x 1, y 1)$ 能否走到 $(x 2, y 2)$ 。可以，则输出YES；否则输出NO

#include 
using namespace std;
int a[1005][1005],n,m,x1,y1,x2,y2,de_x[4]={-1,1,0,0},de_y[4]={0,0,-1,1};
bool found=false,flag[1005][1005];
bool c(int x,int y){
    if(x<=0 || x>n || y<=0 ||y >m)return false;//必须在最前面 
    if(flag[x][y])return false;
    if(a[x][y]==1)return false;
    return true;
}
void f(int x,int y){
    if(x==x2 && y==y2){
        found=true;
        return ;
    }
    flag[x][y]=true;
    for(int i=0;i<4;i++){
        int nx=x+de_x[i];
        int ny=y+de_y[i];
        if(c(nx,ny)){
            f(nx,ny);
        }
    }
}
int main(){
    cin >>n >>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cin >>a[i][j];
        }	
    }
    cin >>x1 >>y1 >>x2 >>y2;
    f(x1,y1);
    cout <<(found?"yes":"no");
    return 0;
}

BFS

拓扑排序

有 $n$ 课 $, m$ 个前置条件。每个前置条件为两个数字 $u, v$ 表示上了第 $u$ 个课才能上第 $v$ 个课，请问能不能上完所有的课？输出任意一个上课方案

      #include 
      #include 
      #include 
      using namespace std;
      vector<int> e[100005];
      int du[100005];
      vector<int> ans;
      int main(){
        int n, m;
        cin >> n >> m;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            int u, v;
            cin >> u >> v;
            e[u].push_back(v);
            du[v]++;
        }
        queue<int> q;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (du[i] == 0){
                q.push(i);
            }
        }
        while (!q.empty()){
            // 2. 找队首
            int now = q.front();
            q.pop();
            ans.push_back(now);
            // 3. 找相邻点
            for (int i = 0; i < e[now].size(); i++) {
                int nxt = e[now][i];
                du[nxt]--;
                if (du[nxt] == 0) {
                    q.push(nxt);
                }
            }      
        }
        if (ans.size() != n) cout << -1;
        else {
            for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
                cout << ans[i] << ' ';
            }
        }
        return 0;
      }

给定一个 $n \times m$ 的矩阵， $1$ 表示墙， $0$ 表示路，你要从 $(1, 1)$ 走到 $(n, m)$ ，需要多少步?

    #include 
    #include 
    using namespace std;
    struct node {
        int x, y; 
    };
    int dx[4] = {0, 0, -1, 1};
    int dy[4] = {-1, 1, 0, 0};
    // dis[x][y]: (1,1)到(x,y)的距离 
    int dis[105][105], a[105][105];
    bool visited[105][105];
    int n, m;
    bool check(int x, int y) {
        if (x <= 0 || y <= 0 || x > n || y > m) return false;
        if (a[x][y] == 1) return false;
        if (visited[x][y]) return false;
        return true;
    }
    
    int main(){
        cin >> n >> m;
        for (int i = 1; i <= n; i++){
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                cin >> a[i][j];
            }
        }
        queue q;
        // 1. 放入起始点 
        node start;
        start.x = 1, start.y = 1;
        q.push(start);
        visited[1][1] = true;
    
        // 只要队列非空，继续循环 
        while (!q.empty()) {
            // 2. 弹出队首 
            node now = q.front();
            q.pop();
            // 3. 找到当前点所有相邻的点，入队,把相邻点设为已访问过 
            for (int i = 0; i < 4; i++) {
                node nxt;
                nxt.x = now.x + dx[i];
                nxt.y = now.y + dy[i];
                if (check(nxt.x, nxt.y)) {
                    q.push(nxt);
                    // plan2
                    visited[nxt.x][nxt.y] = true;
                    dis[x][y]: (1,1)到(x,y)的最短距离 
                    dis[nxt.x][nxt.y] = dis[now.x][now.y] + 1;
                }
            }
        }
        if (visited[n][m]) cout << dis[n][m];
        else cout << -1;    
    }

层序输出树

    #include 
    #include 
    #include 
    using namespace std;
    vector<int> e[10005];
    bool flag[10005];
    int main(){
        int n;
        cin >>n;
        for(int i=1;i<=n-1;i++){
            int u,v;
            cin >>u >>v;
            e[v].push_back(u);
            e[u].push_back(v);
        }
        queue<int> q;
        q.push(1);
        flag[1]=true;
        while(!q.empty()){
            int now=q.front();
            q.pop();
            cout <" ";
            for(int i=0;isize();i++){
                int nxt=e[now][i];
                if(flag[nxt])continue;
                q.push(nxt);
                flag[nxt]=true;
            }
        }
        return 0;
    }

树状数组1

p3374

    #include 
    using namespace std;
    int n,m,a[500005],b[500005];
    int lowbit(int x){
        return x & -x;
    }
    void init(){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            b[i]+=a[i];
            if(i+lowbit(i)<=n)b[i+lowbit(i)]+=b[i];
        }
    }
    void add(int pos,int x){
        while(pos<=n){
            b[pos]+=x;
            pos=pos+lowbit(pos);
        }
    }
    int fi(int pos){
        int ans=0;
        while(pos>=1){
            ans+=b[pos];
            pos-=lowbit(pos);
        }
        return ans;
    }
    int main(){
        cin >>n >>m;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            cin >>a[i];
        }
        init();
        while(m--){
            int q,x,y;
            cin >>q >>x >>y;
            if(q==1){
                add(x,y);        
            }
            else{
                cout <<fi(y)-fi(x-1) <            }
        }
        return 0;
    }

树状数组2

p3368

    #include 
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    ll n,m,a[500005],b[500005],f[500005];
    ll lowbit(int x){
        return x & -x;
    }
    void init(){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            f[i]+=a[i];
            if(i+lowbit(i)<=n)f[i+lowbit(i)]+=f[i];
        }
    }
    void add(int pos,int x){
        while(pos<=n){
            f[pos]+=x;
            pos=pos+lowbit(pos);
        }
    }
    ll fi(int pos){
        int ans=0;
        while(pos){
            ans+=f[pos];
            pos-=lowbit(pos);
        }
        return ans;
    }
    int main(){
        cin >>n >>m;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            cin >>b[i];
        }
        init();
        while(m--){
            ll q;
            cin >>q;
            if(q==1){
                ll x,y,k;
                cin >>x >>y >>k;
                add(x,k);
                add(y+1,-k);
            }
            else{
                ll x;
                cin >>x;
                cout <<fi(x)+b[x] <            }
        }
        return 0;
    }

__EOF__

本文作者： shipeiqian
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孩子表示法

孩子兄弟表示法

二叉排序(查找)树(binary search tree)

平衡 bst

欧拉道路

欧拉回路

保留小数

数组(array)

排序

格式化数组

定义比较器

字符串（string）

数学函数

定义函数

struct(结构体)

class(类)

链表

STL模板库

优先队列

pair

set

map

最短路

Kruskal

SPFA

Dijkstra

Floyd

传递闭包

质数筛

1.普通筛法

CODE

2.普通筛法的优化

CODE

3.埃氏筛

CODE

4.欧拉筛(线性筛)

CODE

DFS

输入两个整数n,m ，然后输入n个整数 ，你可以从中选择一些数字，问有多少种方案可以让选择的数字和为m。

给定一个n∗m的矩阵，输入两个整数n,m(1≤n,m≤10) 为矩阵的行数和列数，然后输入n行，每行m个数字，每个数字−1000≤ai,j≤1000。

给定一个n∗m的01矩阵，输入两个整数n,m(1≤n,m≤1000) 为矩阵的行数和列数，然后输入n行，每行m个数字，每个数字为0或1.其中0表示通路，1表示墙壁。

BFS

拓扑排序

给定一个n×m的矩阵，1表示墙，0表示路，你要从(1,1)走到(n,m)，需要多少步?

层序输出树

树状数组1

树状数组2

输入两个整数 $n, m$ ，然后输入 $n$ 个整数，你可以从中选择一些数字，问有多少种方案可以让选择的数字和为 $m$ 。

给定一个 $n * m$ 的矩阵，输入两个整数 $n, m (1 \leq n, m \leq 10)$ 为矩阵的行数和列数，然后输入n行，每行m个数字，每个数字 $- 1000 \leq a_{i, j} \leq 1000$ 。

给定一个 $n * m$ 的01矩阵，输入两个整数 $n, m (1 \leq n, m \leq 1000)$ 为矩阵的行数和列数，然后输入n行，每行m个数字，每个数字为0或1.其中0表示通路，1表示墙壁。

给定一个 $n \times m$ 的矩阵， $1$ 表示墙， $0$ 表示路，你要从 $(1, 1)$ 走到 $(n, m)$ ，需要多少步?