2022“杭电杯” 中国大学生算法设计超级联赛（10）1 4题解

1001-Winner Prediction

题目大意：
一场比赛两个人之间进行，赢的人加一分，目前已知一些结束比赛的结果，还剩下若干场没有进行的比赛，且每场比赛的两个玩家已知。问1号玩家是否有可能成为分数最高的玩家（并列也算）。

思路：
一开始想的是贪心，未开始的比赛，如果有1号玩家参与，就让1号玩家赢，否则每次选一个分数最高的玩家，在他的所有比赛中选一场对手分数最低的比赛，让分数低的玩家赢。但是这样的贪心无法证明是正确的。
后来也想过用网络流，但是因为太久没用过了，有些生疏，没有把图建起来。赛后看题解果然也是用网络流做的。
建图的方式：
源点向每场比赛连一条容量为1的边。
每场比赛向两位选手各连一条容量为1的边。
每位选手向汇点连一条边，容量为1号玩家分数 - 自己当前的分数。

然后套板子跑最大流即可。如果汇点的流量为比赛的场数，说明有解。

AC代码：

#include 
#define M 20005
#define N 2005
#define mem(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct edge
{
    int to, next;
    int cap;
} e[M];
int head[N], ecnt = 1;
int dep[N], cur[N], S, T, tot;
void add(int u, int v, int cap)
{
    e[++ecnt] = edge{v, head[u], cap};
    head[u] = ecnt;
    e[++ecnt] = edge{u, head[v], 0};
    head[v] = ecnt;
}
bool bfs()
{
    for (int i = 1; i <= tot; i++)
        dep[i] = 0, cur[i] = head[i];
    dep[S] = 1;
    queue<int> q;
    q.push(S);
    while (q.size())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for (int i = head[u]; i; i = e[i].next)
        {
            int v = e[i].to;
            if (dep[v] || !e[i].cap) continue; //已经访问过或者没有残余流量，也算弧优化的一种
            q.push(v);
            dep[v] = dep[u] + 1;
        }
    }
    return dep[T] != 0; //如果T点无法到达说明没有增广路了
}
int dfs(int u, int flow)
{
    if (u == T || flow == 0) return flow;
    int out = 0;
    for (int &i = cur[u]; i; i = e[i].next)
    {
        int v = e[i].to;
        if (dep[u] + 1 != dep[v] || !e[i].cap) continue;
        int delta = dfs(v, min(flow, e[i].cap));
        // if (!delta) continue; // delta==0说明不是增广路
        flow -= delta;
        out += delta;
        e[i].cap -= delta;     //正向边减去流量
        e[i ^ 1].cap += delta; //反向边加流量
        if (flow == 0) break;
    }
    return out;
}
int Dinic()
{
    int maxflow = 0;
    while (bfs())
        maxflow += dfs(S, 1e9 + 7);
    return maxflow;
}
int sc[505];
void solve()
{
    int n, m1, m2, u, v, f;
    cin >> n >> m1 >> m2;
    mem(head, 0), mem(sc, 0);
    S = ecnt = 1;
    T = n + m2 + 1;
    while (m1--)
    {
        cin >> u >> v >> f;
        f ? sc[u]++ : sc[v]++;
    }
    for (int i = m2; i >= 1; i--)
    {
        cin >> u >> v;
        if (u == 1 || v == 1)
            sc[1]++, m2--;
        else
        {
            add(S, i + n, 1); //源点向比赛连一条容量1的边
            add(i + n, u, 1); //比赛向两个选手各连一条容量1的边
            add(i + n, v, 1);
        }
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (sc[1] < sc[i])
        {
            cout << "NO\n";
            return;
        }
        add(i, T, sc[1] - sc[i]);
    }
    if (Dinic() == m2)
        cout << "YES\n";
    else
        cout << "NO\n";
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}
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1004-Average Replacement

题目大意：
给定一若干个点和若干条边，每个点有一个点权。每次操作可以选一个点，将其点权替换为其所连接的点的点权加上自己点权的平均值。经过无数次操作后输出每个点的点权。

思路：
可以肯定的是，一个连通分量里的所有点最后都会变成一个值。
猜测这个值就等于每个点的点权乘上(度数+1)的和再除以(度数+1)和。
至于为什么猜加1，因为只有一个点的连通分量时点的度数为0，所以要加1。
代入几个简单的图暴力验证一下即可。
这题比较卡常，即使是std也要跑2/3的时限，因此对细节要求比较多。

AC代码：

#include 
const int N = 1e5 + 5;
using namespace std;

long long dsum[N], psum[N], deg[N], p[N];
int fa[N];
int Find(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = Find(fa[x]); }

void solve()
{
    int u, v, n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lld", &p[i]);
        deg[i] = 1; //初始化为1，后面就不用进行加1操作了
        fa[i] = i;
        dsum[i] = psum[i] = 0;
    }

    while (m--)
    {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        deg[u]++;
        deg[v]++;
        int fu = Find(u);
        int fv = Find(v);
        if (fu != fv) fa[fu] = fa[fv];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int fi = Find(i);
        dsum[fi] += deg[i];
        psum[fi] += p[i] * deg[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int fi = Find(i);
        printf("%.6lf\n", (double)psum[fi] / dsum[fi]);
    }
}
signed main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}
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