leetcode刷题 (9.1) 动态规划

1. 不同路径

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题目：一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
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思路：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i]：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径

2. 确定递推公式

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
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3. dp数组如何初始化
   注意：第一行和第一列dp都是1，只有一条路径（不是看累加的）。
   for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
   for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;

4. 确定遍历顺序
   i和j都从小到大遍历

5. 举例推导dp数组
   

笔记：

初始化二维数组的方式：

==C++==中将该二维数组全部定义为0，再初始化第一行和第一列。

vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n,0));
for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
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vector< vector > v(m, vector(n) ); 定义了一个vector容器，元素类型为vector，初始化为包含m个vector对象，每个对象都是一个新创立的vector对象的拷贝，而这个新创立的vector对象被初始化为包含n个0。

Python中

dp = [[1 for i in range(n)] for j in range(m)]
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C++：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n,0));
        for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};
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Python：

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[1 for i in range(n)] for j in range(m)]
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        return dp[m-1][n-1]
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2. 不同路径 II

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题目：一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
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思路：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i]：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径

2. 确定递推公式
   与上题不同在于加了个障碍的判定条件

if (obstacleGrid[i][j] == 0) { // 当(i, j)没有障碍的时候，再推导dp[i][j]
    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
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3. dp数组如何初始化
   初始化不再是第一行第一列全赋1，如果出现障碍，后面的都此路不通，赋为0

vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) dp[0][j] = 1;
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5. 确定遍历顺序
   i和j都从小到大遍历

6. 举例推导dp数组
   

笔记：

C++：

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();
        // 终点或起点出现障碍时，不可达
        if (obstacleGrid[m-1][n-1] == 1 || obstacleGrid[0][0] == 1){
            return 0;
        }
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        // 初始化
        for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) dp[0][j] = 1;
        // 遍历
        for (int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};
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Python：

class Solution:
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
        # 创建dp数组
        m = len(obstacleGrid)
        n = len(obstacleGrid[0])
        dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(m)]

        # 终点或起点出现障碍时，不可达
        if obstacleGrid[m-1][n-1] == 1 or obstacleGrid[0][0] == 1:
            return 0

        # 初始化
        for i in range(n):
            if obstacleGrid[0][i] == 0:
                dp[0][i] = 1
            else:    # 一旦出现障碍，后面的全部不可达，即全为0
                break
        for i in range(m):
            if obstacleGrid[i][0] == 0:
                dp[i][0] = 1
            else:
                break

        # 遍历
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                if obstacleGrid[i][j] == 0:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

        return dp[m-1][n-1]
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