【高等数学基础进阶】微分中值定理及导数应用

一、微分中值定理

定理1（费马引理）：如果函数$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x_0$处取得极值，那么$f^{\prime }(x_0)=0$

定理2（罗尔定理）：
若

• $f(x)$在$[a,b]$上连续
• $f(x)$在$(a,b)$可导
• $f(a)=f(b)$

则存在$\xi \in (a,b)$，使$f^{\prime }(\xi )=0$

定理3（拉格朗日中值定理）：
若

• $f(x)$在$[a,b]$上连续
• $f(x)$在$(a,b)$可导

则存在$\xi \in (a,b)$，使
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(\xi )$$

定理4（柯西中值定理）：
若

• $f(x),F(x)$在$[a,b]$上连续
• $f(x),F(x)$在$(a,b)$可导，且$F^{\prime }(x)\ne 0$

则存在$\xi \in (a,b)$，使
$$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$$

微分中值定理本质上是为了建立导数与函数的联系，因此题目中如果都是函数的条件，问导数，或者反过来，考虑使用微分中值定理

定理5（皮亚诺型余项泰勒公式）
设$f(x)$在$x_0$点$n$阶可导，那么
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$
其中
$$R_n(x)=o(x-x_0{)}^n,(x\to x_0)$$
若$x_0=0$，则得麦克劳林公式
$$f(x)=f(0)-f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_n(x)$$

定理6（拉格朗日型余项泰勒公式）：
设$f(x)$在喊$x_0$的区间$(a,b)$内$n+1$阶可导，那么对$\forall x\in (a,b)$，至少存在一个$\xi$，使
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$
其中
$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1},\xi 在x_0和x之间$$

泰勒公式本质上建立了函数与高阶导数的关系，并且利用多项式逼近$f(x)$

皮亚诺型用于研究函数的局部形态，例如极限、极值；拉格朗日型用于研究函数的整体形态，例如最值、不等式

e x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! + o ( x n ) ln ⁡ ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − ⋯ + ( − 1 ) ( n − 1 ) 1 n x n + o ( x n ) ( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! x n + o ( x n ) sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + o ( x 2 n − 1 ) cos ⁡ x = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + o ( x 2 n )

exln(1+x)(1+x)αsinxcosx​=1+x+2!x2​+⋯+n!xn​+o(xn)=x−21​x2+31​x3−⋯+(−1)(n−1)n1​xn+o(xn)=1+αx+2!α(α−1)​x2+⋯+n!α(α−1)⋯(α−n+1)​xn+o(xn)=x−3!x3​+5!x5​−⋯+(−1)n−1(2n−1)!x2n−1​+o(x2n−1)=1−2!1​x2+4!1​x4−⋯+(−1)n(2n)!x2n​+o(x2n)​

二、导数应用

单调性

定理7（函数的单调性）：
设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导

• 若在$(a,b)$内$f^{\prime }(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调增
• 若在$(a,b)$内$f^{\prime }(x)<0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调减

极值

定义（函数的极值）：
若$\exists \delta >0$，使得

• $\forall x\in U(x_0,\delta )$恒有$f(x)\ge f(x_0)$，则称$f(x)$在$x_0$取得极小值
• $\forall x\in U(x_0,\delta )$恒有$f(x)\le f(x_0)$，则称$f(x)$在$x_0$取得极大值

在端点处不能取得极值，极值的定义是邻域

定理8（极值的必要条件）：
若$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x_0$处取得极值，则$f^{\prime }(x_0)=0$

导数值等于零的点被称为驻点

极值不一定是驻点，例如，对于$|x|$，当$x=0$时，是极值点但不是驻点
驻点不一定是极值点，例如，对于$x^3$，当$x=0$时，是驻点但不是极值点
因此，极值点只可能在$f^{\prime }(x_0)=0$或$f^{\prime }(x_0)$不存在的点

定理9（极值的第一充分条件）：
设$f(x)$在$\mathring{U}(x_0,\delta )$内可导，且$f^{\prime }(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处连续）

• 若$x<x_0$时，$f^{\prime }(x)\ge 0$；$x>x_0$时，$f^{\prime }(x)\le 0$，则$f$在$x_0$处取极大值
• 若$x<x_0$时，$f^{\prime }(x)\le 0$；$x>x_0$时，$f^{\prime }(x)\ge 0$，则$f$在$x_0$处取极小值
• 若$f^{\prime }(x)$在$x_0$的两侧不变号，则$f$在$x_0$无极值

该定理可以用于$f^{\prime }(x_0)=0$，还可以是在$x_0$处导数不存在，但是函数连续，例如$|x|$当$x=0$时，依旧可以使用

定理10（极值的第二充分条件）：
设$f^{\prime }(x_0)=0,f^{\prime \prime }(x_0)\ne 0$

• 当$f^{\prime \prime }(x_0)<0$，$f(x)$在$x_0$处取极大值
• 当$f^{\prime \prime }(x_0)>0$，$f(x)$在$x_0$处取极小值

最值

求连续函数$f(x)$在$[a,b]$上的最值

1. 求出$f(x)$在$(a,b)$内的驻点和不可导的点$x_1,x_2,\cdots ,x_n$
2. 求出函数值$f(x_1),f(x_2),\cdots ,f(x_n),f(a),f(b)$
3. 比较以上各点函数值

注：若连续函数$f(x)$在$(a,b)$内仅有唯一极值点，则不需要作比较

对于最大最小值的应用题，在上述步骤之前建立目标函数即可

凹凸性

定义3：
凹
$$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)-f(x_2)}{2}$$
凸
$$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)-f(x_2)}{2}$$

定理11：
若区间$I$上$f^{\prime \prime }(x)>0$，则曲线$y=f(x)$在$I$上是凹的
若区间$I$上$f^{\prime \prime }(x)<0$，则曲线$y=f(x)$在$I$上是凸的

定义4（拐点）：
曲线上凹凸性发生变化的点

极值点只有$x$值，拐点是个坐标

拐点判定（必要条件与充分条件），只需要将极值点的定理关于导数抬高一阶即可

定理12（拐点的必要条件）：
设$y=f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且点$(x_0,f(x_0))$为曲线的拐点，则$f^{\prime \prime }(x_0)=0$

定理13（拐点的第一充分条件）：
设$y=f(x)$在点$x_0$的某去心领域内二阶可导，且$f^{\prime \prime }(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处连续）

• 若$f^{\prime \prime }(x)$在$x_0$的左、右两侧异号，则点$(x_0,f(x_0))$是曲线$y=f(x)$的拐点
• $f^{\prime \prime }(x)$在$x_0$的左、右两侧同号，不是拐点

定理14（拐点的第二充分条件）：
设$y=f(x)$在点$x_0$处三阶可导，且$f^{\prime \prime }(x_0)=0$，若$f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$，则点$(x_0,f(x_0))$是曲线$y=f(x)$的拐点

渐近线

若
$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A(\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A或\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A)$$
那么$y=A$是曲线$y=f(x)$的水平渐近线

水平渐近线判断有无，先看有没有无穷函数

若
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$$
那么$x=x_0$是$y=f(x)$的垂直渐近线

若
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=a,b=\underset{x\to \infty }{\lim }(f(x)-ax)$$
那么$y=ax+b$是$y=f(x)$的斜渐近线

对于$-\infty$和$+\infty$，如果某一侧已经存在水平渐近线或斜渐近线，则该侧不会出现另一种渐近线

函数作图

1. 定义域
2. 一阶导数确定单调区间，确定极值
3. 二阶导数确定凹凸区间，确定拐点
4. 渐近线

曲线的弧微分与曲率

直角坐标系下的曲率公式
$$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{1}{2}}}$$

曲率半径
$$R=\frac{1}{K}$$

常考题型与典型例题

求函数的极值和最值及确定曲线的凹项和拐点

例1：设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内连续，判断$x=0$处是否是极值

由于$f^{\prime }(x)$在$x=0$处无定义，因此$x=0$处可能是极值点
又因为**$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内连续**，有$x-0>0,x+0<0$，即两端导数值变号，因此是极大值点

例2：已知$f(x)$在$x=0$的某个邻域连续，且$f(0)=0,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{1-\cos x}=2$，判断在点$x=0$处$f(x)$是否可导，是否是极值

由题意知
$$2=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{\frac{1}{2}{x}^2}=2\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{f(x)}{x}\cdot \frac{1}{x})$$
显然$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\to \infty ,\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{f(x)}{x}\cdot \frac{1}{x})\to 1$，则$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}\to 0$
根据$f(0)=0$，又有
$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}\to 0$$
因此$x=0$处$f(x)$可导，导数为$0$
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{1-\cos x}=2>0$$
根据极限的保号性，在$0$的一个小去心邻域内
$$\frac{f(x)}{1-\cos x}>0\Rightarrow f(x)>0=f(0)$$
因此$x=0$处为极小值

例3：设$f(x)=|x(1-x)|$，判断$x=0$处是否是$f(x)$的极值点、拐点

f ( x ) = { − x ( 1 − x ) , x < 0 x ( 1 − x ) , x ≥ 0 f(x)=

f(x)={−x(1−x)x(1−x)​,x<0,x≥0​
（注意此处只需要写$x=0$附近的分段函数，其他不关注）
显然$f(x)$在$x=0$处连续
f ′ ( x ) = { − 1 + 2 x , x < 0 1 − 2 x , x > 0 f'(x)=

{−1+2x,x<01−2x,x>0" role="presentation" style="position: relative;">{−1+2x1−2x,x<0,x>0$$\{\begin{array}{ll}-1+2x& ,x<0\\ 1-2x& ,x>0\end{array}$$

f′(x)={−1+2x1−2x​,x<0,x>0​
（注意此处不需要关注$x=0$处的$f^{\prime }(x)$值，如果保证函数在极值点可能出现的附近区域连续，则只需要判断该点去心邻域$f^{\prime }(x)$的正负）
显然是极小值
f ′ ′ ( x ) = { 2 , x < 0 − 2 , x > 0 f''(x)=

{2,x<0−2,x>0" role="presentation" style="position: relative;">{2−2,x<0,x>0$$\{\begin{array}{ll}2& ,x<0\\ -2& ,x>0\end{array}$$

f′′(x)={2−2​,x<0,x>0​
（注意此处不需要关注$x=0$处的$f^{\prime \prime }(x)$值，如果保证函数在拐点可能出现的附近区域连续，则只需要判断该点去心邻域$f^{\prime \prime }(x)$的正负）
显然$(0,0)$是$f(x)$的拐点

渐近线

例4：求$y=x+\sin \frac{1}{x}$的渐近线

水平渐近线
当$x\to \infty$时，函数为$\infty +有界量$，显然无水平渐近线

垂直渐近线
当$x=0$时，函数无定义，此时$y$不趋向于无穷，显然五垂直渐近线

斜渐近线
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=1=a,\underset{x\to \infty }{\lim }(y-ax)=\underset{x\to \infty }{\lim }\sin \frac{1}{x}=0=b$$
因此存在斜渐近线$y=x$

推广：
设一个函数$f(x)$存在斜渐近线$y=ax+b$
对于$f(x)$上的任意一点$(x,f(x))$到斜渐近线$y=ax+b$的距离
$$\underset{x\to \infty }{\lim }d=\frac{|f(x)-ax-b|}{\sqrt{1+a^2}}=0$$
有
$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)-ax-b=0$$
即，当$x\to \infty$
$$f(x)=ax+b+\alpha (x),其中\alpha (x)\to 0$$
所以如果一个函数当$x\to \infty$，能被写成一个$线性函数+无穷小$的形式就有斜渐近线

对于本题$y=x+\sin \frac{1}{x}$，当$x\to \infty$，显然可以被写成$y=x+0$，因此存在斜渐近线$y=x$

例5：分析$y=\frac{1}{x}+\ln (1+e^x)$渐近线的条数

水平渐近线
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=0注意e^{\infty }\ne \infty$$
因此有水平渐近线$y=0$
垂直渐近线
$$\underset{x\to 0}{\lim }y=\infty$$
因此有垂直渐近线$x=0$
斜渐近线，由于$-\infty$侧已经有水平渐近线，因此不需要考虑该侧
lim ⁡ x → + ∞ y x = lim ⁡ x → + ∞ ln ⁡ ( 1 + e x ) x = lim ⁡ x → + ∞ e x 1 + e x 1 = 1 = a lim ⁡ x → + ∞ ( y − a x ) = lim ⁡ x → + ∞ ( ln ⁡ ( 1 + e x ) − x ) 此处可以选择把 x 变成 ln ⁡ e x , 也可以从前一项拆出 x = lim ⁡ x → + ∞ ln ⁡ 1 + e x e x = 0 = b

x→+∞lim​xy​x→+∞lim​(y−ax)​=x→+∞lim​xln(1+ex)​=x→+∞lim​11+exex​​=1=a=x→+∞lim​(ln(1+ex)−x)此处可以选择把x变成lnex,也可以从前一项拆出x=x→+∞lim​lnex1+ex​=0=b​
因此有斜渐近线$y=x$

斜渐近线也可以用上面的推广方法
当$x\to +\infty$
$$y=\ln [e^x(e^{-x}+1)]+\frac{1}{x}=\underset{线性函数}{\underbrace{x}}+\underset{无穷小}{\underbrace{\ln (e^{-x}+1)+\frac{1}{x}}}$$
因此有斜渐近线$y=x$

方程的根

问零点的存在性考虑零点定理和原函数的罗尔定理

零点定理（使用条件是函数连续，端点值变号）
例6：求证方程$x+p+q\cos x=0$恰有一个实根，其中$p,q$为常数，且$0<q<1$

令$f(x)=x+p+q\cos x$
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$
则存在$a<b$，使$f(a)<0,f(b)>0$
因此存在$\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi )=0$，即$f(x)$有实根
又因为
$$f^{\prime }(x)=1-q\sin x>0$$
因此方程$x+p+q\cos x=0$恰有一个实根

罗尔定理
例7：设$a_1+a_2+\cdots +a_n=0$，求证方程
$$n{a}_n{x}^{n-1}+(n-a)a_{n-1}{x}^{n-2}+\cdots +2a_{2}x+a_1=0$$

令
F ( x ) = ∫ n a n x n − 1 + ( n − a ) a n − 1 x n − 2 + ⋯ + 2 a 2 x + a 1 = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x

F(x)=∫nanxn−1+(n−a)an−1xn−2+⋯+2a2x+a1=anxn+an−1xn−1+⋯+a2x2+a1x" role="presentation" style="position: relative;">F(x)=∫nanxn−1+(n−a)an−1xn−2+⋯+2a2x+a1=anxn+an−1xn−1+⋯+a2x2+a1x$$\begin{array}{rl}F(x)& =\int n{a}_n{x}^{n-1}+(n-a)a_{n-1}{x}^{n-2}+\cdots +2a_{2}x+a_1\\ & =a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_2{x}^2+a_{1}x\end{array}$$

F(x)​=∫nan​xn−1+(n−a)an−1​xn−2+⋯+2a2​x+a1​=an​xn+an−1​xn−1+⋯+a2​x2+a1​x​
显然$F(x)$在$[0,1]$连续，$(0,1)$可导
$$F(0)=0,F(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_2+a_1=0$$
因此存在$\xi \in (0,1)$，使得$f^{\prime }(\xi )=0$

不等式证明

常用方法 { 单调性 : f ( x ) ≥ g ( x ) 即证 f ( x ) − g ( x ) ≥ 0 拉格朗日中值定理常用于两个函数相减 最大最小值 常用方法

{单调性:f(x)≥g(x)即证f(x)−g(x)≥0拉格朗日中值定理常用于两个函数相减最大最小值" role="presentation" style="position: relative;">⎧⎩⎨单调性:f(x)≥g(x)即证f(x)−g(x)≥0拉格朗日中值定理常用于两个函数相减最大最小值$$\{\begin{array}{l}单调性:f(x)\ge g(x)即证f(x)-g(x)\ge 0\\ 拉格朗日中值定理常用于两个函数相减\\ 最大最小值\end{array}$$

常用方法⎩ ⎨ ⎧​单调性:f(x)≥g(x)即证f(x)−g(x)≥0拉格朗日中值定理常用于两个函数相减最大最小值​

例8：证明：$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x,(x>0)$

$$\ln (1+x)=\ln (1+x)-\ln 1=\frac{1}{\xi }x,\xi \in (1,1+x)$$
有
$$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)=\frac{x}{\xi }<x$$

高等数学两个常用不等式：
$$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x,(x>0)$$
$$\sin x<x<\tan x,x\in (0,\frac{\pi }{2})$$

中值定理证明题

例9：设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上二阶可导，且$f(a)=f(b)=f(c),(a<c<b)$，证明存在$\xi \in (a,b)$，使$f^{\prime \prime }(\xi )=0$

存在${\xi }_1\in (a,c)$，使$f^{\prime }({\xi }_1)=0$
存在${\xi }_2\in (c,b)$，使$f^{\prime }({\xi }_2)=0$
存在${\xi }_{}\in ({\xi }_1,{\xi }_2)$，使$f^{\prime }({\xi }_{})=0$

例10：设不恒为常数的函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，证明在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f^{\prime }(\xi )>0$

根据题意，存在$c\in (a,b)$，使$f(c)\ne f(a)$，不妨设$f(c)>f(a)$
存在$\xi \in (a,c)$使
$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}>0$$

例11：设$f(x)$在$[a,b]$上二阶可导，$f(a)=f(b)=0$且存在$c\in (a,b)$使$f(c)<0$。试证：$\exists \xi \eta \in (a,b),f^{\prime }(\xi )<0,f^{\prime \prime }(\eta )>0$

$\exists \xi \in (a,c)$，使得
$$\frac{f(c)-f(a)}{c-a}=f^{\prime }(\xi )<0$$
$\exists \xi \in (c,b)$，使得
$$\frac{f(b)-f(c)}{b-c}=f^{\prime }({\xi }_1)>0$$
$\exists \eta \in (\xi ,{\xi }_1)$，使得
$$\frac{f^{\prime }({\xi }_1)-f(\xi )}{{\xi }_1-\xi }=f^{\prime \prime }(\eta )>0$$

例12：设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，且$f(0)=0$，且$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$，证明：

• 存在$a>0$，使得$f(a)=1$
• 存在$\xi \in (0,a)$，使得$f^{\prime }(\xi )=\frac{1}{a}$

介值定理要求在闭区间连续，开区间内的某个值为介值

若$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)\ne f(b)$，则对$f(a)$于$f(b)$之间任一数$C$，至少存在一个$\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi )=C$

由于$f(x)$可导，则必然连续
又因为$f(0)=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$，则存在$b>0$，使得$f(b)>1$
因此存在$a\in (0,b)$，使得$f(a)=1$

第二问可以用拉格朗日中值定理，这里用罗尔定理构造函数的方法

令
$$F(x)=\int f^{\prime }(x)-\frac{1}{a}=f(x)-\frac{1}{a}x$$
显然$F(x)$在$[0,a]$连续，$(0,a)$可导
$$F(0)=0,F(a)=f(a)-1=0$$
因此存在$\xi \in (0,a)$，使得$f^{\prime }(\xi )=\frac{1}{a}$

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