非常简单的证明
过程：
一、相邻两元素对换
对于排列a1a2a3a4a5，
对换a3和a4,
形成排列a1a2a4a3a5,
其它元素与a3和a4的次序不变，
比如不管a3和a4交换还是不交换，
a1都在这两元素的前面，a5都在这两元素的后面。
只有a3和a4的次序交换，
此时逆序数要么加1，要么减1，
即排列改变奇偶性。
二、任意两元素交换
对于排列a1a2a3a4a5，
对换a1和a5，
首先将a1与a2、a3、a4分别交换，
形成排列a2a3a4a1a5,
一共交换了3次，对于其他排列，可能交换了4次，5次，
总之，记这个数为m次。
在将a1和a5交换，
形成排列a2a3a4a5a1，
又交换了一次。
再将a5与a4、a3、a2分别交换,
形成排列a5a2a3a4a1,
此时又交换了3次，也就是m次。
此时交换完成，总共交换了2m+1次。
所以不管m是多少，最后都是交换奇数次。
也就是会改变排列的奇偶性。