【剑指offer系列题解】

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题目描述

给你一根长度为 $n$ 绳子，请把绳子剪成 $m$ 段（$m$、$n$ 都是整数，$2\le n\le 58$ 并且 $m\ge 2$）。

每段的绳子的长度记为 $k[1]、k[2]、\dots \dots 、k[m]$。

$k[1],k[2],\dots ,k[m]$ 可能的最大乘积是多少？

例如当绳子的长度是 $8$ 时，我们把它剪成长度分别为 $2$、$3$、$3$ 的三段，此时得到最大的乘积 $18$。

样例

输入：8

输出：18
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方法一：数学 O(n)

首先把一个正整数 $N$ 拆分成若干正整数只有有限种拆法，所以存在最大乘积。

假设 $N=n_1+n_2+\dots +n_k$ ，并且 $n_1\times n_2\times \dots \times n_k$ 是最大乘积。

1. 通过观察可以发现，$1$ 尽量不能取。
2. 如果 $n_i\ge 5$ ，那么把 $n_i$ 拆分成 $3+(n_i-3)$ ，可以得到 $3(n_i-3)=3n_i-9>n_i$ ；
3. 如果 $n_i=4$ ，拆成 $2+2$ 乘积不变，所以可以直接忽略 $4$ 这个选项；
4. 如果有三个以上的 $2$ ，那么 $3\times 3>2\times 2\times 2$ ，所以替换成 $3$ 乘积更大；

综上，尽可能的拆分到最多的 $3$ ，余下的 $2$ 或 $4$ 优先选择 $2$ 。另外，这里需要注意 $m$ 必须大于等于 $2$ ，所以绳子至少要分两段。

class Solution {
public:
    int maxProductAfterCutting(int length) {
        if (length <= 3)   return length - 1;
        int res = 1;
        //将lenght变成3的倍数
        if (length % 3 == 2) res = 2, length -= 2;
        if (length % 3 == 1) res = 4, length -= 4;  //两个2相乘
        while (length)   res *= 3, length -= 3;
        return res;
    }
};
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