大家好我是沐曦希💕

1.前言

1.1 什么是数据结构？

数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

数据结构是在内存中管理数据，进行增删查改等操作。例如：通讯录。
后面学到的数据库是在磁盘中管理数据，进行增删查改等操作。

1.2 什么是算法？

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

数据结构和算法是相辅相成的，而想要学好算法就要学好时间复杂度和空间复杂度。

2.算法效率

2.1 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

2.2 复杂度在校招中的考察

在leetcode和牛客网中大部分编辑题也规定了时间复杂度和空间复杂度。

3.时间复杂度

3.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

例如：

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
}
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Func1中++count语句共运行了F(N) = N*N+2*N+10。
但是它的时间复杂度是O(N^2)。
因为：

N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

随着N的越大，后面两项2N+10对结果影响越小，而其决定执行次数量级的是NN。

3.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N^2)
N = 10 F(N) = 100
N = 100 F(N) = 10000
N = 1000 F(N) = 1000000
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

3.3 常见时间复杂度计算

实例一

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}
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基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)。

实例二

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}
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基本操作执行了N+M次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)。
当M远大于N时，时间复杂度为O(M)。
当N远大于M时，时间复杂度为O(N)。
当N与M相差不大时，时间复杂度时O(N)或者O(M)。

实例三

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}
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基本操作执行了100次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(1)。
O(1)并不是代表只执行一次，代表时常数次。

实例四

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );
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#include
#include
int main()
{
	char arr[] = "abcdef";
	char* p = strchr(arr, 'd');
	printf("%s\n", p);
	return 0;
}
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实例4基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)

实例五

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}
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实例5冒泡排序基本操作执行最好N次，最坏执行了(N(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)*
而快排的时间复杂度是O(N*logN)。

实例六

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid - 1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}
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这是二分查找法：通过每次的数组长度除于二来查找目标值，最坏情况直到剩余一个。即：
2 ^ X = N
即：X = logN
实例6基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。

实例七

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
	return Fac(N - 1) * N;
}
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该递归就是函数Fac(N)调用Fac(N-1),Fac(N-1)调用Fac(N-2)…直到Fac(2)调用Fac(1)。一共调用了N次。
实例7通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

实例八

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
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斐波那契数列可以看成是2^0+2^1+2^2+…2^(n-2)+2^(n-1)
通过计算得到2^n-1

实例8通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。
所以在求斐波那契数列时候，一般都不会用递归，因为时间复杂度太大了。
而是用循环方式求解：

long long Fib(size_t n)
{
	if (n < 3)
		return 1;
	long long f1 = 1;
	long long f2 = 1;
	long long f3 = 0;
	for (size_t i = 3; i <= n; i++)
	{
		f3 = f1 + f2;
		f1 = f2;
		f2 = f3;
	}
	return f3;
}
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该Fib函数的时间复杂度是O(N)。

4.空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

但是随着计算机的发展，不再那么关注空间复杂度，因为现在设备存储空间都比较大。甚至在一些情况下会牺牲空间来换取时间效率。
空间可以重复利用，不累加，而时间是一次性的，是累加的。

4.1 常见时间复杂度计算

4.1.1 实例一

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}
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1. 实例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)
2. 参数数组a是不计入BubbleSort的空间复杂度中的

4.1.2 实例二

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;
	long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}
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实例2动态定义了开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)

4.1.3 实例三

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if (N == 0)
		return 1;
	return Fac(N - 1) * N;
}
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实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

4.1.4 实例四

// 计算斐波那契递归Fib的空间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
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所以斐波那契递归Fib的空间复杂度O（N)，时间复杂度是O(2^N)

4.1.4.1 验证

#include
#include
void f1(int n)
{
	int a = 0;
	int* p = (int*)malloc(4 * n);
	if (p == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return;
	}
	printf("%p %p %p\n", &a, &p, p);
	//根据前面在栈区上开辟的a和p的地址是相等的
	//堆区上开辟的地址就不一定相等了
	//业务处理
	free(p);
	p = NULL;
}
//开辟了N+2个空间
int main()
{
	f1(10);
	f1(10);
	return 0;
}
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5.常见复杂度对比

一般算法常见的复杂度如下：

6.复杂度的oj练习

消失的数字

题目链接：面试题 17.04. 消失的数字

int missingNumber(int* nums, int numsSize){
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < numsSize; i ++ ) {
        res ^= nums[i];
    }        
    for (int i = 0; i < numsSize + 1; i ++ ) {
        res ^= i;
    }
    return res;   
}
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轮转数组

题目链接： 189. 轮转数组

//code1
void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
    k %= numsSize;
    int arr[numsSize];
    int count = 0;
    for(int i=numsSize-k;i<numsSize;i++)
    {
        arr[count++]=nums[i];
    }
    for(int i=0;i<numsSize-k;i++)
    {
        arr[count++]=nums[i];
    }
    memcpy(nums,arr,sizeof(*nums)*numsSize);
}
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//code2
void Reverse(int* nums, int begin, int end)
{
    assert(nums);
    while( begin < end)
    {
        int tmp = nums[begin];
        nums[begin] = nums[end];
        nums[end] = tmp;
        begin++;
        end--;
    }
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
    k %= numsSize;
    Reverse(nums,0,numsSize-k-1);
    Reverse(nums,numsSize-k,numsSize-1);
    Reverse(nums,0,numsSize-1);
}
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5.写在最后

那么时间复杂度和空间复杂度到这里就结束啦！那么就要正式开启数据结构的学习了。后面也会讲到时间复杂度和空间复杂度的，毕竟只要刷题总会遇到的。