三. 微分方程

概念理解

专业术语 ==> 大白话

微分方程 ==> 含导数
微分方程的阶 ==> 最高阶导数
微分方程的解 ==> x与y的关系式
微分方程通解 ==> 含任意常数
微分方程通解的阶 ==> 任意常数的个数
微分方程初始条件 ==> 通解确定了数字
微分方程特解 ==> 确定了初始条件的解

求一阶微分方程的通解的方法

1. 可分离变量法

对应方程：变量可分离的微分方程
适用题型：可整理成x和y两者 井水不犯河水 的式子
$$f(x)dx=g(y)dy$$
使用：左右两侧同时不定积分
$$\int f(x)dx=\int g(y)dy+C$$

2. 换元法

对应方程：齐次微分方程
题型：若某一阶微分方程可以整理为：
$$\frac{dy}{dx}=f（\frac{y}{x}）$$

使用: 把y/x换成u,得到：
$$\frac{dy}{dx}=u+x\ast \frac{du}{dx}$$

公式法（线性）

对应方程：一阶线性微分方程
题型：可以整理为 y’ + p(x)y = 0 或者 y’ + p(x)y = q(x)
使用：不定积分积出来的不需要再加常数C

二阶常系数微分方程的通解

Ay’’ + By’ + Cy = []

若系数中的ABC都是常数，则称二阶微分方程 为 二阶常系数微分方程。

齐次： Ay’’ + By’ + Cy = 0

非齐次： Ay’’ + By’ + Cy = f(x)

齐次

1. 把系数A化成1,得到 y’’ + py’ + q = 0

2. 求解一元二次方程 r^2 + pr + q = 0，得到r1，r2 根据特征方程的解分三种情况

   • r1 != r2
     $$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$$
   • r1 = r2
     $$y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}$$
   • 一对共轭 ： r1 = r2 = α ± β i
     $$y=(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x)e^{\alpha x}$$

3. 参考链接：参考链接：二阶常系数齐次线性微分方程的通解

非齐次

1. 先求出对应的齐次方程的解（假设右边是0）
2. 再求出非齐次的特解
3. 两者相加

• 技巧
  y1,y2,y3 是三个非齐特，那么 y1 - y2 以及 y2 - y3 是对应的齐次的解

二阶变系数微分方程的通解

Ay’’ + By’ + Cy = []

其中的A，B，C不全为数字，则称为二阶变系数微分方程

但从考研数学角度,仅有两种：

1. 不含y：把y’换成P，把y’‘换成P’
2. 不含x: 把y’换成P，把y’'换成P * dp/dy

求通解：可以含常数C
求表达式：不可以含常数C，得求出来。

• 经典问题：已知解，求对应的微分方程
  通过系数对应方程，直接得出结果。