线性代数学习笔记3-4：描述线性变换的空间压缩情况（列空间、秩）

已经知道，矩阵对应线性变换，而线性变换可能会压缩空间
当然，空间被压缩降维的程度也有大有小：若被压缩为一维，则对应一条线；若被压缩为二维，则对应一个平面；

那么，如何衡量线性变换后的维度压缩程度呢？——使用列空间和秩的概念

列空间：线性变换后的向量空间

矩阵$\mathbf{A}$的列空间，记为$C(\mathbf{A})$，其定义如下：

1. 列空间是：线性变换后，新的基向量的张成空间（张成空间：向量所有可能的线性组合构成的集合）
   i.e. 基向量在线性变换后，能够描述出的空间
2. 列空间是：矩阵的列向量张成的空间（因为矩阵$\mathbf{A}$的各个列向量，就是变换后的基向量坐标）

矩阵$\mathbf{A}$有$n$列/$n$个列向量，那么列空间一定是${\mathbf{R}}^n$的子空间

注意，零向量一定在列空间中（因为列空间也是向量空间，任何向量空间必包含零向量，并且由此可知，线性变换必须保证原点位置不变）

进一步举例说明列空间：

• 2x4矩阵，由于列向量只有两个分量，列空间必为${\mathbf{R}}^2$的子空间（行数量对应向量所属的坐标系的维数；行的数量为2，则向量最多两个坐标，这就限制了一个向量最多能描述的空间是${\mathbf{R}}^2$）
  若行向量无关，则满秩，此时列空间为二维平面（列秩为2，存在多余列向量）
• 5x2矩阵，由于列向量有五个分量，列空间必为${\mathbf{R}}^5$的子空间
  即使列向量无关，即列向量最多张成一个平面，列秩最多为2（注意，这个平面不是${\mathbf{R}}^2$，因为有5个坐标，${\mathbf{R}}^2$容不下，这个平面应该理解为五维空间${\mathbf{R}}^5$中的二维平面）

秩：定量描述线性变换后的空间维度

矩阵$\mathbf{A}$的秩是：

1. 矩阵的秩是：线性变换后空间的维数（秩越小，变换后空间被压缩的程度越严重）
2. 矩阵的秩是：列空间的维数(严格说，列空间的维数是列秩，但是「秩」=「列秩」=「行秩」)

为什么「秩」=「列秩」=「行秩」？
把列看做列向量，则行是每个列向量在列空间各个坐标轴上的投影（坐标），行的数量则是列空间坐标系的维数
如果矩阵有m个不相关的列向量（变换后有m个不相关的基向量），就应该张成m维的列子空间，进而不相关的行向量个数也应该是m

$\Rightarrow$矩阵满秩：线性变换后空间没有被压缩（线性变换前的空间维数=列空间的维数）

矩阵不满秩$⟺$矩阵的列向量线性相关（变换后存在着多余的、对张成空间没有贡献的基向量，列空间维数<原空间）

• 考虑3x3的矩阵和三维空间：
  矩阵的秩为3，则线性变换后空间被仍充满整个三维空间，也称变换的秩为3；
  矩阵的秩为2，则线性变换后空间被压缩为一个平面，也称变换的秩为2；
  矩阵的秩为1，则线性变换后空间被压缩为一条直线，也称变换的秩为1；
• 对于$n\times n$的矩阵，秩最大为$n$，意义是：变换后的空间维度最大为$n$（变换后基向量的张成空间span最大为$n$维）
• 推论：行列式为零$⟺$矩阵不满秩（两者意义相同：线性变换后空间被压缩降维）