身体

题目概述

题解

我们可以发现，编号这一维是最规整的，所有的矩阵都是抵到$(1,1)$了的。
也就是说，如果我们选择的区间涵盖$[l,r]$的话，那么显然这个时候最大的长方体的截面肯定是呈现$(1,1)-(\min a,\min b)$的矩形。
所以应该很容易得到一个$O\left(n^2\right)$的做法。
但这显然是可以优化的，考虑分治。
在分治区间$[l,r]$时，一一去匹配端点$[x,mid]$和$[mid+1,y]$。
但这样未必也太麻烦了点。
我们看看我们上面的匹配两侧的贡献:$(y-x+1)\min (a_x,a_y)\min (b_x,b_y)$
考虑这个$\min$的取值情况，大概有$4$种：

• 两个都在左边
• 第一个在左边，第二个在右边
• 第一个在右边，第二个在左边
• 两个都在右边

其中第一种情况和第四种情况可以通过双指针解决，因为最小值都在左边或者右边，只需要找到$a$和$b$都比另一边大的最远点即可。
关键在于第二种情况和第三种情况该怎么维护，这相当于要求另一边的端点一个值比另一边大，另一个比另一边小。
这样的话，如果它距离中线距离为$R$，相对与另一边距离$L$的点，它的贡献就是$(L+R)va{l}_R$。
可以发现，它长得很像一个多项式，其中$R$是常量，$L$是自变量。
那不是能用李超树维护吗？显然，它会贡献到与它满足上面偏序关系的区间，我们可以双指针求出与它满足偏序关系的合法区间，求答案的那边就能直接单点查询找到贡献最大的端点了。

由于需要李超树区间插入线段，李超树是$O\left({\log }^{2}n\right)$的。
时间复杂度$O\left(n{\log }^{3}n\right)$。

源码

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
#define MAXN 1000005
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
const int INF=0x3f3f3f3f;
template<typename _T>
void read(_T &x){
    _T f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
    x*=f;
}
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;}return t;}
int n,a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN],d[MAXN];LL ans;
struct line{
    LL k,b;line(){k=b=0;}
    line(LL K,LL B){k=K;b=B;}
    LL ask(int x){return k*x+b;}
};
class LiCaoTree{
    private:
        line tr[MAXN];
    public:
        void build(int rt,int l,int r){
            tr[rt]=line();if(l==r)return ;int mid=l+r>>1;
            build(lson,l,mid);build(rson,mid+1,r);
        }
        void insert(int rt,int l,int r,int al,int ar,line aw){
            if(al>r||ar<l||al>ar)return ;int mid=l+r>>1;
            if(al<=l&&r<=ar){
                if(tr[rt].ask(mid)<aw.ask(mid))swap(tr[rt],aw);
                if(l<=mid&&tr[rt].ask(l)<aw.ask(l))insert(lson,l,mid,al,ar,aw);
                if(r>mid&&tr[rt].ask(r)<aw.ask(r))insert(rson,mid+1,r,al,ar,aw);
                return ;
            }
            if(al<=mid)insert(lson,l,mid,al,ar,aw);
            if(ar>mid)insert(rson,mid+1,r,al,ar,aw);
        }
        LL query(int rt,int l,int r,int ai){
            if(l>r||l>ai||r<ai)return 0;int mid=l+r>>1;
            LL res=tr[rt].ask(ai);if(l==r)return res;
            if(ai<=mid)res=max(res,query(lson,l,mid,ai));
            if(ai>mid)res=max(res,query(rson,mid+1,r,ai));
            return res;
        }
}T;
void sakura(int l,int r){
    if(l==r){ans=max(ans,1ll*a[l]*b[r]);return ;}
    int mid=l+r>>1;sakura(l,mid);sakura(mid+1,r);int len=mid-l+1;
    for(int i=mid;i>=l;i--)c[i]=i<mid?min(c[i+1],a[i]):a[i],d[i]=i<mid?min(d[i+1],b[i]):b[i];
    for(int i=mid+1;i<=r;i++)c[i]=i>mid+1?min(c[i-1],a[i]):a[i],d[i]=i>mid+1?min(d[i-1],b[i]):b[i];
    for(int i=mid,j=mid+1;i>=l;i--){
        while(j<=r&&a[j]>=c[i]&&b[j]>=d[i])j++;
        ans=max(ans,1ll*c[i]*d[i]*(j-i));
    }
    for(int i=mid+1,j=mid;i<=r;i++){
        while(j>=l&&a[j]>=c[i]&&b[j]>=d[i])j--;
        ans=max(ans,1ll*c[i]*d[i]*(i-j));
    }
    T.build(1,1,len);
    for(int i=mid,j=mid+1,k=mid;i>=l;i--){
        while(j<=r&&c[j]>=c[i]){
            while(k>=l&&d[k]>=d[j])k--;
            T.insert(1,1,len,1,mid-k,line(d[j],1ll*d[j]*(j-mid)));j++;
        }
        ans=max(ans,T.query(1,1,len,mid-i+1)*c[i]);
    }
    T.build(1,1,len);
    for(int i=mid+1,j=mid,k=mid+1;i<=r;i++){
        while(j>=l&&c[j]>=c[i]){
            while(k<=r&&d[k]>=d[j])k++;
            T.insert(1,1,len,1,k-mid-1,line(d[j],1ll*d[j]*(mid-j+1)));j--;
        }
        ans=max(ans,T.query(1,1,len,i-mid)*c[i]);
    }
}
int main(){
    freopen("cuboid.in","r",stdin);
    freopen("cuboid.out","w",stdout);
    read(n);for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]),read(b[i]);
    sakura(1,n);printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94

谢谢！！！