背包问题-完全背包

输入样例

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输出样例：

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解题思路

同01背包，f[i][j]代表选取前i个物品，最大体积为j的能够达到的最大物品价值

但此时选取第i个物品时，我们有k + 1个状态：不选，选1个、选2个、……、选k个，k为第i个物品所拥有的数量。

当然，这k+ 1个状态也不是所有的状态都合法，需要满足前提条件k * vi <= V。

于是状态转移方程为

f[i][j] = f[i - 1][j];
for(int k = 0; k * v <= j; k ++)
	f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - k * v] + k * w);
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所以我们有

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
	int v, w;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        scanf("%d%d", &v, &w);
        for(int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            for(int k = 0; k * v <= j; k ++)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v] + k * w);
        }
            
    }
        
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}
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简单优化

上述代码会超时（最坏情况大概1e9次），所以我们需要对其进行优化

我们发现

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2v]+2w,···,f[i-1][j-kv]+kw))

f[i][j-v] = max( f[i-1][j-v],f[i-1][j-2v]+w,···,f[i-1][j-kv]+(k-1)w)

所以f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j-v] + w);

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
	int v, w;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        scanf("%d%d", &v, &w);
        for(int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v)f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v] + w);
        }
            
    }
        
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}
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优化一维

同01背包，可以优化为一维，状态转移方程为

f[i][j] = f[i - 1][j];
if(j >= v)f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v] + w);
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去掉i

f[j] = f[j]; //f[i][j] = f[i - 1][j];
if(j >= v)f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);  //f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i])
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可以看出，如果从v开始遍历到j，则f[j] = f[j];与实际表达的相同，为恒等式可以去掉；

而f[j] = max(f[j], f[j - v] + w)第二个参数用的也是本层的，非上层，不用逆序，所以我们有

#include 

using namespace std;

int f[1010];

int main()
{
    int n, m;
    
    cin >> n >> m;
    
    int v, w;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> v >> w;
        for(int j = v; j <= m; j ++)
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}
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