区间统计——ST算法

一、引入

先举一个小栗子。

一数组有 nn 个元素，有 mm 次询问（n,m<=105n,m<=105）。对于每次询问给出 l,rl,r，求出 [l,r][l,r]的区间和。

有的同学说，这很简单啊！直接前缀和不就行了吗？确实如此，示例代码如下：

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c++
int n, m; cin >> n >> m;
vector< int > sum( n + 10 );
fill( sum.begin(), sum.end(), 0 );
for ( int i = 1, x; i <= n; ++i ) {
	cin >> x;
	sum[ i ] = sum[ i - 1 ] + x;
}
while ( m-- ) {
	int l, r; cin >> l >> r;
	l = min( l, r ); r = max( l, r );
	cout << sum[ r ] - sum[ l - 1 ] << endl;
}

但是，我们稍稍改变一下题目，将求区间和改为求区间最大值，前缀和就行不通了。我们应该如何在 O(nlogn)O(nlogn) 的时间复杂度下求得结果呢？

二、ST 算法介绍

上面的问题也被称为区间最值查询。（RMQRMQ, RangeRange Maximum/MinimumMaximum/Minimum QueryQuery）在静态的区间最值查询问题中，我们可以使用 STST 算法解决。

首先我们假定需要求解的数组为 A={10,20,30,40,50,60}A={10,20,30,40,50,60}，且为了方便，数组下标从 11 开始。

由于问题可离线，我们可以先预处理，再输出答案。
基于倍增思想，我们可以对于每一个元素构造一个倍增数组，其内容为AA 中 [i,i+2k−1][i,i+2k−1]的最大值（i∈([1,n]∩N),i+2k−1≤n,k∈Ni∈([1,n]∩N),i+2k−1≤n,k∈N），如下图所示：

以此类推，我们可以对于每个元素构造这么一个数组，即 PrePre 数组为一个二维数组，可定义为：

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c++
int pre[ maxn ][ maxlog ]; // maxlog 为上文中 k 的最大值，一般取 25 左右

那么，我们该如何快速求解出 pre[i][j]pre[i][j] 呢？

三、 pre[i][j] 的求法

我们可以将 STST 算法看作一个 DP。

首先，pre[i][j] 本身就可以视作一个状态矩阵，存储着对应区间的最值。

接着，其边界条件是 pre[i][0]，即元素本身。这很容易理解，因为 [i,i] 的最值本身就是 i 嘛。

其次，由于预处理是离线过程，所以对于新的区间最值求解，不会对已求出区间的最值产生影响，故满足 DP 的无后效性原则。

最后，我们来整理状态转移方程。

对于区间 [i,j]，显然可以将其二分为 [i,i+j2] 和 (i+j2,j)。若知道这两个区间的最值 p 和 q，显然地，整个[i,j]区间的最值必然等于max(p,q)或min(p,q)。这样问题就转化为求子区间的最值。以此类推直至边界。我们可以结合下图进行理解。

于是我们可以轻松写出代码：

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c++
int n, m; cin >> n >> m;
for ( int i = 1; i <= n; ++i ) cin >> pre[ i ][ 0 ];
for ( int j = 1; j <= maxlog; ++j )
	for ( int i = 1; i + ( 1 << j ) - 1 <= n; ++i )
		pre[ i ][ j ] = max(
			pre[ i ][ j - 1 ],	// [i, i+2^(j-1)-1] 即前半段区间 
			pre[ i + ( 1 << ( j - 1 ) ) ][ j - 1 ]	// [i+2^(j-1), i+2^j-1] 即后半段区间 
		); // 因为 2^j = 2 * 2^(j-1)，所以可以这么写

四、How to query?

预处理完毕，该如何实现高效查询呢？

要求的区间为 [l,r]，区间长度即为 r−l+1。得知了区间长度，我们就可以在 Pre 中进行查找。由于区间长度不一定为 2k,k∈N，我们仅取一个区间返回结果不一定准确（因为 Pre 中预处理的区间长度均为 2k）所以我们需要找到一个长度，使得其为 2k 且尽量长但不超过 [l,r] 的长度。显然地，这个长度为 floor(log2(r−l+1))。这个长度可以直接用于 Pre 且尽量大。所以所取区间为 [l,l+2log2(r−l+1)−1]，在 Pre 数组中即为 pre[l][log(r−l+1)]。 对于 ∁[l,l+2log2(r−l+1)−1][l,r]，由于 RMQ 问题的可重复贡献性，我们可以找两段重叠的区间取最值。所以可以从 r 开始向左找长度同样为 floor(log2(r−l+1)) 的区间，使这个区间右端点为 r。于是第二个区间为 [r−2log2(r−l+1)+1,r]，对应 Pre 中即为 pre[r−(1<<log(r−l+1))+1][log(r−l+1)] 。不难发现这两个区间的并集必为 [l,r]。即两个区间最值的 max/min 一定是整个区间的最值。通过图片进行解释：

于是我们可得出 query 函数的代码：

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c++
inline int query( int l, int r ) {
	int k = log( r - l + 1 );	// 简化代码
	return max(
		pre[ l ][ k ],
		pre[ r - ( 1 << k ) + 1 ][ k ]
	);
}

下面是 ST 算法的模板。用于解决洛谷 P3865：

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c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
#define k lg2[r - l + 1]
 
typedef long long ll;
 
template<typename T>
inline void read(T &x) {
    T f = 1; x = T(0); char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
    while (isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
    x *= f;
}
 
namespace SparseTable {
    const int MAXN = 2e6 + 10, MAXLOG = 25;
    int n, m, f[MAXN][MAXLOG], lg2[MAXN];
 
    void init(void) {
        // Read components
        read(n); read(m);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            read(f[i][0]);
        // Sparse Table
        for (int j = 1; j <= MAXLOG; j++)
            for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
                f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1) )][ j - 1 ]);
        // Log2
        lg2[1] = 0; lg2[2] = 1;
        for (int i = 3; i < MAXN; i++)
            lg2[i] = lg2[i / 2] + 1;
    }
 
    inline int query(const int l, const int r) {
        return max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
    }
}
 
int main(void) {
    int l, r;
    
    SparseTable::init();
    while ( (SparseTable::m) --) {
        read(l); read(r);
        printf("%d\n", SparseTable::query(min(l, r), max(l, r)));
    }
    return 0;
}
折叠 

六、优点与局限性

ST 算法有一些其他算法所不具备的优点，比如：

• 代码量小
• 常数小，时间复杂度较低

ST 算法的局限性很大，只能解决静态区间可重复贡献问题，局限性如下：

• 可扩展性较弱
• 无法处理在线修改操作

第二点实际上是 ST 表实际应用中最大的障碍。那么，如何解决在线修改查询问题呢？需要的两大杀器分别是树状数组和线段树（包括 zkw 线段树），这两种数据结构将在接下来的几篇文章中介绍。

七、参考资料：

1. 【朝夕的ACM笔记】数据结构-ST表
2. OIWiki ST表