矩阵分析与应用

本文学习来源是《矩阵分析与应用》

矩阵的二次型

任意一个正方矩阵A的二次型是一个实标量，以实矩阵为例：
 

这是变量x的二次型函数，我们称为矩阵A的二次型。

推而广之，若，且矩阵A的元素为，则二次型

若两个矩阵A，B满足对角线相等，且满足,则这两个矩阵的二次型就相等。

如：

具有相同的二次型。即：

即对于任何一个二次型函数

存在许多矩阵A，它们的二次型相同，但是，只有一个唯一的对称矩阵A满足，其元素为和，其中，。因此在讨论矩阵A的二次型时，通常都假定A为实对称矩阵或复共轭对称矩阵。

一个复共轭对称矩阵A称为：

• 正定矩阵，若二次型
• 半正定矩阵，若二次型
• 负定矩阵，若二次型
• 半负定矩阵，若二次型
• 不定矩阵，若二次型既可能取正值，也可能取负值。

例如：实对称矩阵

是正定的，因为二次型，仅时等式为0。

这里继续学习一个非负矩阵的概念。

设矩阵的元素为，若

即A的所有元素都是非负的，则称A为非负矩阵。

若A的所有元素都是正的，则称A为正矩阵。

非负矩阵和正矩阵分别用符号和简记，以下是正定矩阵和正矩阵之间的区别：

正定矩阵一定是正方的矩阵，但是正矩阵可以是非正方的。

正定矩阵A的定义为：，正矩阵的定义为：

正定矩阵的符号为：,正矩阵的符号为：

矩阵的迹

n*n矩阵A的对角元素之和称为A的迹，非正方矩阵没有迹。迹记作tr(A),即：

以下是关于迹的等式：

1. 若A和B均为n*n的矩阵，则
2. 若c是一个复常数或者实常数，则
3. 若A和B均为n*n的矩阵,且和为常数，则
4. 矩阵A的转置，复数共轭的迹为：
5. 若A为m*n矩阵，B为n*m矩阵，则
6. 若A，B均是一个m*m矩阵，且B非奇异，则
7. 若A是一个m*n的矩阵，则
8. 迹等于特征值之和，即
9.