矩阵分析与应用-04-向量空间、内积空间与线性映射01

        虽然许多工程问题也可以不使用线性空间进行研究，但是线性空间的使用却可以给问题的描述带来诸多的方便。本质上讲，线性空间是某--类事物在矩阵代数里的一个抽象的集合表示，线性映射或线性变换则反映线性空间中元素间最基本的线性联系，它们为线性函数的研究提供了极大的方便。可以说，线性代数就是研究线性空间和线性变换理论的数学分支。

集合的基本概念

1.与集合运算有关的几个数学符号

 表示对所有

  表示属于集合，即是集合的一个元素

  表示不属于集合，即不是集合的一个元素

  表示使得

  表示存在

2.集合的基本运算

 读作集合包含于集合或是的一个子集，即中每一个元素都是的元素。

  称是的一个真子集。符号  表示为包含或是的超集。

  表示没有任何元素的集合，又称空集。

  表示等于，即和，或和

  表示不属于，反过来也不属于

  表示和的并集

  表示和的交集

  表示和的和集

  表示集合差

  表示在集合中的补集

  表示和的笛卡尔积

向量空间

定义1  以向量为元素的集合V称为向量空间，若加法运算定义为两个向量之间的加法，乘法运算定义为向量与标量域S中的标量之间的乘法，并且对于向量集合V中的向量x, y, w和标量域S中的标址a1, a2，以下两个闭合性和关于加法及乘法的八个公理(axiom)[也称公设(postulate)或定律(law)]满足:

闭合性：

1.若 和，则，即在加法下是闭合的，简称加法的闭合性;

2.若是一个标量,，则，即在标量乘法下是闭合的，简称标量乘法的闭合性。

 加法的公理：

1. ，，称为加法的交换律;

2. ，，称为加法的结合律;

3.在中存在一个零向量、使得对于任意向量y ∈V,恒有y＋0= y(零向量的存在性)

4.给定一个向量，存在另一个向量使得y+(-y)=0=(-y)+y(负向量的存在性)。

标量乘法的公理

1.a(by) = (ab)y 对所有向量y和所有标量a,b成立，称为标量乘法的结合律;

2.a(x + y) =ax+ay对所有向量a, y ∈V和标量a成立，称为标量乘法的分配律;

3. (a+ b)y = ay+ by对所有向量g和所有标量α,b成立(标量乘法的分配律);

4.1g = y对所有y ∈V成立，称为标量乘法的单位律。

定义2  令V和w是两个向量空间,若W是V中一个非空的子集合，则称子集合W是V的个子空间。

定理1  如果V是一个向量空间，则

(1)零向量0是唯一的。

(2)对每一个向量y，加法的逆运算-y是唯一的。

(3)对每一个向量y，恒有0y = 0。

(4)对每一个标量a，恒有a0= 0。

(5)若ay =0，则a=0或者y = 0。

(6)(-1)y = -y。

定理2  P”的子集合W是R”的子空间，当且仅当以下三个条件满足:

(1)每当向量x, y属于W，则a +y 也属于W,即满足加法的闭合性:

(2)每当向量x属于W，且 a为标量时，则ax属于W，即满足与标量乘积的闭合性。

(3)零向量0是W的元素。