染色法判定二分图的算法

染色法
将所有点分成两个集合，使得所有边只出现在集合之间，就是二分图
二分图：一定不含有奇数环，可能包含长度为偶数的环， 不一定是连通图
dfs版本
代码思路：
染色可以使用1和2区分不同颜色，用0表示未染色
遍历所有点，每次将未染色的点进行dfs, 默认染成1或者2
由于某个点染色成功不代表整个图就是二分图,因此只有某个点染色失败才能立刻break/return
染色失败相当于存在相邻的2个点染了相同的颜色
#include
#include
#include

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10; // 由于是无向图, 顶点数最大是N，那么边数M最大是顶点数的2倍
int e[M], ne[M], h[N], idx;
int st[N];

void add(int a, int b){
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

bool dfs(int u, int color) {
st[u] = color;

for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
    int j = e[i];
    if(!st[j]) {
        if(!dfs(j, 3 - color)) return false;
    }else if(st[j] == color) return false;
}

return true;
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}

int main(){
int n, m;
scanf(“%d%d”, &n, &m);

memset(h, -1, sizeof h);
while (m --){
    int a, b;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    add(a, b), add(b,a);  // 无向图，a->b, b->a
}

bool flag = true;
for(int i = 1; i <= n; i ++){
    if(!st[i]){
        if(!dfs(i, 1)){
            flag = false;
            break;
        }
    }
}

if(flag) puts("Yes");
else puts("No");
return 0;
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}
bfs版本
代码思路
颜色 1 和 2 表示不同颜色, 0 表示 未染色
定义queue是存PII，表示 <点编号, 颜色>,
同理，遍历所有点, 将未染色的点都进行bfs
队列初始化将第i个点入队, 默认颜色可以是1或2
while (队列不空)
每次获取队头t, 并遍历队头t的所有邻边
若邻边的点未染色则染上与队头t相反的颜色，并添加到队列
若邻边的点已经染色且与队头t的颜色相同, 则返回false
C++ 代码
#include
#include
#include

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10;
typedef pair PII;

int e[M], ne[M], h[N], idx;
int n, m;
int st[N];

void add(int a, int b){
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

bool bfs(int u){
int hh = 0, tt = 0;
PII q[N];
q[0] = {u, 1};
st[u] = 1;

while(hh <= tt){
    auto t = q[hh ++];
    int ver = t.first, c = t.second;

    for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]){
        int j = e[i];

        if(!st[j])
        {
            st[j] = 3 - c;
            q[++ tt] = {j, 3 - c};
        }
        else if(st[j] == c) return false;
    }
}

return true;
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}

int main(){
scanf(“%d%d”, &n, &m);

memset(h, -1, sizeof h);
while(m --){
    int a, b;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    add(a, b), add(b, a);
}

int flag = true;
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
    if (!st[i]){
        if(!bfs(i)){
            flag = false;
            break;
        }
    }
}

if (flag) pu
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什么叫二分图

有两顶点集且图中每条边的的两个顶点分别位于两个顶点集中，每个顶点集中没有边直接相连接！

说人话的定义：图中点通过移动能分成左右两部分，左侧的点只和右侧的点相连，右侧的点只和左侧的点相连。

下图就是个二分图：

下图不是个二分图：

如果判断一个图是不是二分图？

开始对任意一未染色的顶点染色。

判断其相邻的顶点中，若未染色则将其染上和相邻顶点不同的颜色。

若已经染色且颜色和相邻顶点的颜色相同则说明不是二分图，若颜色不同则继续判断。

bfs和dfs可以搞定！

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N = 100010 * 2;
int e[N], ne[N], idx;//邻接表存储图
int h[N];
int color[N];//保存各个点的颜色，0 未染色，1 是红色，2 是黑色
int n, m;//点和边

void add(int a, int b)//邻接表插入点和边
{
e[idx] = b, ne[idx]= h[a], h[a] = idx++;
}

bool dfs(int u, int c)//深度优先遍历
{
color[u] = c;//u的点成 c 染色

//遍历和 u 相邻的点
for(int i = h[u]; i!= -1; i = ne[i])
{
    int b = e[i];                   
    if(!color[b])//相邻的点没有颜色,则递归处理这个相邻点
    {
        if(!dfs(b, 3 - c)) return false;//（3 - 1 = 2， 如果 u 的颜色是2，则和 u 相邻的染成 1）
                                        //（3 - 2 = 1， 如果 u 的颜色是1，则和 u 相邻的染成 2）
    }
    else if(color[b] && color[b] != 3 - c)//如果已经染色，判断颜色是否为 3 - c
    {                                     
        return false;//如果不是，说明冲突，返回                   
    }
}
return true;
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}

int main()
{
memset(h, -1, sizeof h);//初始化邻接表
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= m; i++)//读入边
{
int a, b;
cin >> a >> b;
add(a, b), add(b, a);
}
for(int i = 1; i <= n; i++)//遍历点
{
if(!color[i])//如果没染色
{
if(!dfs(i, 1))//染色该点，并递归处理和它相邻的点
{
cout << “No” << endl;//出现矛盾，输出NO
return 0;
}

    }
}
cout << "Yes" << endl;//全部染色完成，没有矛盾，输出YES
return 0;
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}