核心图片详解

两个视角同时看到了三维空间点中的X 在两个视角中分别为二维点x、x’。e’ 认为是左边相机光心在右边的投影 l’ 可能是对极直线？不过名称不重要 重要的是e’ 和 x’ 均在直线 l’ 上

代数推导

已知三维点为X 三维点在相机二维平面的表示为x 三维点和它对应的二维点必存在对应关系 所以不难理解可以用以下的方式来表示：
$$PX=x$$
我们假设相机光心点为C 那么PC等于多少？C作为相机的光心 而P作为投影矩阵PC的投影当然会有一点特殊 这里认为PC=0也不奇怪。
假设$P^{+}$为P的伪逆矩阵 所以有：
$$X=P^{+}x$$
即使用左边的二维点表示出了三维点的坐标 右边的投影矩阵我们设为P‘
则用上式的三维点投影到右边的二维平面：
$$x^{\prime }=P^{\prime }{P}^{+}x$$
前面说到左边相机的光心坐标我们假设为C 那么C在右侧相机的投影我们可以得出：
$$e^{\prime }=P^{\prime }C$$
又因为 e’ x’ 在直线 l’ 上 所以根据点和线的基本关系式可以得出：
$$l^{\prime }=(P^{\prime }C)\times (P^{\prime }{P}^{+}x)$$
然后我们把上式和上上式合在一起：
$$l^{\prime }=[e{]}_{\times }(P^{\prime }{P}^{+}x)$$
其实合不合意义不大
然后因为 x’ 在直线 l’ 上
所以根据点和线的基本关系我们可以得出：
$$x^{\prime T}{l}^{\prime }=0$$
将上上式代入之前 其实就已经出现F矩阵了 F矩阵其实就是：
$$F=[e{]}_{\times }(P^{\prime }{P}^{+})=(P^{\prime }C)\times (P^{\prime }{P}^{+})$$
所以对于对极几何中的两个相机平面对应的点 x x’ 我们可以直接有如下结论：
$$x^{\prime T}Fx=0$$

原文精彩展示

F矩阵的推导过程

结论展示

原文的例子

P 和 P‘ 涵盖了相机矩阵K和两个相机之间的位姿变换Rt 因为前一帧的相机是基准 所以R为单位阵 t为0 图中的0表示的是三维向量，C中的1为相机光心的齐次表示
P中K右乘的矩阵的增广的部分其实是光心C的非齐次表示 因此是0 而 P’ 中同样的位置也是相机光心 C’ 的非齐次表示 C‘ 和 C 相差了一个t 因此也变得没那么奇怪了