math_(函数&数列)极限的含义&误区和符号梳理/邻域&去心邻域&邻域半径

$★$极限的含义&误区和符号梳理

$\ast$数列和函数的极限的定义小结

极限的定义&理解$⊳$

数列极限

$$\begin{gathered} \forall \epsilon >0,\exists N>0, \\ when:(n>N) \\ then:|x_n-a|<\epsilon \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 给定任意\epsilon \\ 确定{\delta }_{\epsilon },使得当n>N_{\epsilon }(其中,n为正整数(表示数列的项的序号)时,即 \\ n\in R_{N_{\epsilon }}=(N_{\epsilon },+\infty )时,保证能够满足(\epsilon 提出的要求):|x_n-a|<\epsilon , \\ 即满足x_n\in (a-\epsilon ,a+\epsilon ) \end{gathered}$$

• 那么称呼a为数列$x_n在x\to \infty$时的极限

• $$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$$

邻域&去心邻域&邻域半径

$$\begin{gathered} 设x_0\in \mathbb{R},\delta >0,开区间R_{\delta }=(x_0-\delta ,x_0+\delta )称为\underline{x_0的\delta 邻域}, \\ 点x_0的\underline{去心\delta 邻域}记作\mathring{U}(x_0,\delta ), \\ \delta 称为邻域半径({\delta }_{radius}) \end{gathered}$$

函数极限

自变量趋于无穷大时的函数极限

• 函数的极限和数列的极限类似,特别是当$x\to +\infty$的时候

函数自变量趋于有限值时的函数极限

$$\begin{gathered} \forall \epsilon >0,\exists \delta >0, \\ when:(0<|x-x_0|<\delta ,(即x_0的去心\delta 邻域:\mathring{U}(x_0,\delta ))) \\ then:|f(x)-a|<\epsilon ;(即,a的\epsilon 邻域U(a,\epsilon ),(不去心)) \\ 则称,f(x)\to a(x\to x_0) \end{gathered}$$

简述版

• 函数自变量趋于有限值的函数极限

$$\begin{gathered} 在x\to x_0的过程中 \\ 给定任意\epsilon \\ 存在(可以确定){\delta }_{\epsilon },使得当x满足0<|x-x_0|<{\delta }_{\epsilon }时,即: \\ \underline{x\in R_{{\delta }_{\epsilon }}=(x_0-{\delta }_{\epsilon },x_0+{\delta }_{\epsilon })}时,保证能够满足(\epsilon 提出的要求):|f(x)-a|<\epsilon , \\ 即满足\underline{f(x)\in (a-\epsilon ,a+\epsilon )} \end{gathered}$$

• 则称呼a为f(x)在自变量$x趋近于x_0$时的极限值:

• $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=a$$

函数极限定义中涉及的4个常数(符号)

• $x_0$:自变量x要趋近的值

  • 自变量x也可能趋近$\infty$

• $\delta$:辅助定义特定区间($R_{\delta }$或$R_{{\delta }_{\epsilon }}$)的常量

• a:极限值

• $\epsilon$:极限附近(波动)偏差量允许值

  • $\epsilon$用于刻画函数f(x)在给定区间内接近极限值a的程度(任意小(任意苛刻)的允许函数值在a附近的波动范围)

$$\begin{gathered} \delta (为了体现的\delta 和\epsilon 之间的联系，我们可以将\delta 表示为{\delta }_{\epsilon }）用于刻画\underline{特定的条件区间} \\ (为了描述方便,区间记为R_{\delta }) \\ (譬如刻画一个邻域)表示,任意小的\epsilon 都能够相应的确定(找到)一个满足条件: \\ (使特定区间R_{{\delta }_{\epsilon }}内的函数值相对于极限a的波动(偏移y=a)的距离不超过\epsilon )的\epsilon 值 \end{gathered}$$

极限的符号化描述和其等价的数学语言描述

以数列的极限wei’li

• $$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a⟺\forall \epsilon >0,\exists N(N\in N^{+}(正整数集)), \\ 当n>N时,满足|x_n-a|<\epsilon \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }{x}_n=a表示当n充分大,x_n与a就可以接近到任意‘预先给定‘的程度 \\ 即,|x_n-a|可以小于任意预先给定的\epsilon \\ 该极限的另一种写法是x_n\to a(n\to \infty ) \end{gathered}$$

  • 注意,当ε可以任意取(足够小)的时候,才能够体现极限的意义(它刻画了数列在靠近极限的过程的与极限的接近程度)

  • N和预先给定的$\epsilon$有关,但是N不是ε的函数(因为同一个ε可以对应多个(甚至无穷多个)符合条件的N)

  • 可以举一个具体的函数例子来辅助理解和辨析

  • $$\begin{gathered} x_n=\frac{1}{n};(x_n=0(x\to \infty )单调而且有极限0) \\ {x}_n=\frac{(-1{)}^n}{n};(x_n=0(n\to \infty )不单调但是有极限0) \end{gathered}$$

理解极限容易进入的误区&举例

趋近于极限的过程不同于该过程的项越来越接近极限

• 趋近于极限$\nLeftrightarrow$越来越接近极限

• $$\begin{gathered} \underset{x_n\to \infty }{\lim }{x}_n=0 \\ 我们不能够说,x_n随着n\to \infty ,x_n越来越接近x_n \end{gathered}$$

• $$x_n=\frac{2+(-1{)}^n}{n};(x_n=0(n\to \infty )数列各项都在>0,且不单调,但是有极限0)$$

  • 这个例子中,$x_1,x_2,x_3,x_4,\dots 分别等于1,\frac{3}{2},\frac{1}{3},\frac{3}{4}$…

  • x n = { 2 + ( − 1 ) n = 1 n ; n % 2 ≠ 0 ( n 为 奇 数 ) 2 + 1 n = 3 n ; n % 2 = 0 ( n 为 偶 数 ) 可 见 , 两 个 子 数 列 都 满 足 x n → 0 ( n → ∞ ) ; 而 数 列 x n 是 振 荡 地 趋 近 于 0 x_n=

    {2+(−1)n=1n;n%2≠0(n为奇数)2+1n=3n;n%2=0(n为偶数)$$\{\begin{array}{l}\frac{2+(-1)}{n}=\frac{1}{n};n\mathrm{\%}2\ne 0(n为奇数)\\ \frac{2+1}{n}=\frac{3}{n};n\mathrm{\%}2=0(n为偶数)\end{array}$$
    \\可见,两个子数列都满足x_n\rightarrow0(n\rightarrow\infin);而数列x_n是振荡地趋近于0 xn​={n2+(−1)​=n1​;n%2​=0(n为奇数)n2+1​=n3​;n%2=0(n为偶数)​可见,两个子数列都满足xn​→0(n→∞);而数列xn​是振荡地趋近于0

极限的几何含义