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博主:大大怪先森(记得关注哦!）
编程环境：vs2013
所示代码：码源

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前言

本文讲讲解AVL树的相关知识！！！

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提示：以下是本篇文章正文内容

一、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度.
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
  
  如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 ，搜索时间复杂度O(log2 ^n )。

二、AVL的实现

1.插入代码实现

代码如下

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#pragma once
#include<assert.h>
template<class K,class V>

struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	pair<K, V> _kv;
	int _bf;//平衡因子 balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	AVLTree()
		:_root(nullptr)
	{}
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if(cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		
		}
		//找到了插入节点，这里一定要注意如果parent没有左右孩子的时候这里
		//插入的时候就需要注意是否插入的位置是左孩子还是右孩子
	    cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		//插入之后开始控制平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)///奶奶滴一个符号，我丢
				parent->_bf--;
			else
				parent->_bf++;
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//这里就需要向上调整
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//旋转处理
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右单旋
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					//左单旋
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右左双旋
					RotateRL(parent);
				}
				break;
			}
		}
		return true;
	}
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;

		parent->_left = SubLR;
		if (SubLR)
		{
			SubLR->_parent = parent;
		}
		Node* parentParent = parent->_parent;
		SubL->_right = parent;
		parent->_parent = SubL;
		if (parent == _root)
		{
			_root = SubL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = SubL;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = SubL;
			}
			SubL->_parent = parentParent;
		}
		SubL->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}

		Node* parentParent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
				parentParent->_left = subR;
			else
				parentParent->_right = subR;
			subR->_parent = parentParent;
		}

		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		if (bf == 1)
		{
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
			subRL = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
			return;

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}

	int Height(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
			return 0;
		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);
		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
			return true;

		// 对当前树进行检查
		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);

		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "现在是:" << root->_bf << endl;
			cout << root->_kv.first << "应该是:" << rightHeight - leftHeight << endl;
			return false;
		}

		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
			&& _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}
private:
	Node* _root;
};

void TestAVLTree()
{
	AVLTree<int, int> t;
	//int a[] = { 0, 1, 2, 3, 4, 5};
	//int a[] = { 5, 4, 3, 2, 1, 0 };
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	t.InOrder();
	cout << t.IsBalance() << endl;
}
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2.旋转图解

三、AVL树的删除（了解）

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。
具体实现学生们可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版

四、 AVL树性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2 ^ n 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合

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总结

希望本篇文章能给各位带来帮助，如有不足还请指正！！！
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