基于 Iterative 映射和单纯形法的改进灰狼优化算法

摘要：为了解决基本灰狼优化算法( GWO) 依赖初始种群和求解精度不高的问题，提出一种基于 Iterative 映射和单纯形法的改进灰狼优化算法( SMIGWO) 。该算法利用混沌 Iterative 映射产生初始灰狼种群，增强全局搜索过程中的种群多样性; 采用逆不完全 Γ 函数更新收敛因子，以平衡算法的全局搜索和局部搜索能力; 利用单纯形法的反射、扩张和收缩操作对当前较差个体进行改进，避免算法陷入局部最优。

1.灰狼优化算法

基础灰狼算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/107716390

2. 改进灰狼优化算法（SMIGWO）

2.1 混沌序列初始化

基本 GWO 算法在搜索空间中随机初始化灰狼种群，容易造成灰狼位置分布不均匀，导致种群多样性差。混沌映射具有较好的遍历性和不重复性，因此可以用来代替种群随机初始化。文中采用 Iterative 混沌映射产生灰狼的初始位置，Iterative 映射的数学表达式为:
$$x_{k+1}=\sin \left(b\pi /x_k\right)\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中，b 是控制参数，b ∈ (0，1)，文中取 b = 0． 5。

2.2 基于逆不完全 Γ 函数的收敛因子

当| A| ＞ 1 时，灰狼群体将扩大搜索范围寻找猎物，即全局搜索，收敛速度快;当| A| ＜ 1 时，灰狼群体将收缩搜索范围对猎物进行攻击，即局部搜索，收敛速度慢。因此，A 的大小与 GWO 算法的全局搜索和局部搜索能力有很大关系。由式(3)可以看出，A随着收敛因子a 的变化而变化。为了平衡算法的全局搜索和局部搜索能力，文中提出一种基于逆不完全 Γ 函数 的收敛因子:
$$a=a_{\min }+\frac{a_{\max }-a_{\min }}{\lambda }\times \text{ gammaincinv }\left(\lambda ,1-\frac{t}{t_{\max }}\right)\text{\hspace{1em}(8)}$$
其中: $a_{max}、a_{min}$ 为收敛因子$a$的最大、最小值，t 为当前迭代次
数，$t_{max}$ 为最大迭代次数，$\lambda (\lambda \ge 0)$ 是随机变量，本文取
$\lambda =0．01$。

2.3 单纯形法

单纯形法的核心思想包括两重:一是梯度估计，它是从最差顶点 X s 到除最差顶点 $X_s$ 以外的所有顶点的质心 $X$的方向向量 $g$;二是通过迭代用一个更好的新顶点来代替最差顶点。新的顶点是由 4 种算子之一产生的:反射、扩张、外收缩和内收缩 。

反射操作: $X_r=X_c+\alpha (X_c－X_s)$，$X_r$ 是反射点，反射系数
$\alpha$ 通常取 1。
扩张操作: $ X_e = X_c + γ(X_r － X_c )$，$X_e$ 是扩张点，扩张系数
γ 通常取 2。
外收缩操作: $X_t=X_c+\beta (X_s－X_c)$，$X_t$ 是外收缩点，外收
缩系数$\beta$取 0． 5。
内收缩操作: $X_w=X_c－\beta (X_s－X_c)$，$X_w$ 是内收缩点，内
收缩系数$\beta$取 0． 5。

综合以上策略描述，给出 SMIGWO 的具体步骤:

1. 设置算法参数:种群规模N，最大迭代次数t max ，反射系数 α，扩张系数 γ，内、外收缩系数 β，随机生成 a、A、C 等参数;

2. 利用混沌 Iterative 映射初始化灰狼种群;

3. 计算种群中每个灰狼个体的适应度值，并按照适应度值进行排序，选择前 3 个最好的狼，记录位置 X α 、X β 和 X δ，对应的适应度值 f(X α )、f(X β ) 和 f(X δ )，中心位置为 X c =(X α +X β ) /2。

4. 对较差灰狼位置 X s 进行反射，得到反射点 X r 。

5. 若 f(X r ) ＜ f(X α ) 说明反射方向正确，执行扩张操作得到扩张点 X e ，若 f(X e ) ＜ f(X α )，则用 X e 取代 X s ;否则，用X r 取代 X s 。

6. 若 f(X r ) ＞ f(X s )，说明反射方向不正确，执行外收缩操作得到外收缩点 X t ，若 f(X t ) ＜ f(X s )，则用 X t 取代 X s 。

7. 若f(X α ) ＜ f(X r ) ＜ f(X s )，执行内收缩操作得到内收缩点 X w ，若 f(X w ) ＜ f(X s )，则用 Xw 取代 X s ;否则，用 X t 取代 X s 。

8. 利用式(5) 和(6) 更新种群中其他 X 灰狼个体的位置;

9. 利用式(8) 计算a，然后利用式(3) 和(4) 更新A，C的值;

10. 判断算法是否满足结束条件，若满足，则算法结束，输出最优灰狼位置 X α ;否则，执行步骤 3)。

3.实验结果

4.参考文献

[1]王梦娜,王秋萍,王晓峰.基于Iterative映射和单纯形法的改进灰狼优化算法[J].计算机应用,2018,38(S2):16-20+54.

5.Matlab代码

6.Python代码