大家好~本文介绍了前向传播、梯度下降算法，总结了神经网络在训练和推理阶段执行的步骤。
在后面的文章中，我们会从最简单的神经网络开始，不断地增加不同种类的层（如全连接层等），推导每种层的前向传播、后向传播、梯度计算、权重和偏移更新的数学公式
神经网络前向和后向传播推导（一）：前向传播和梯度下降
神经网络前向和后向传播推导（二）：全连接层
神经元
如上图所示，一个神经元具有一个偏移值b和多个权重值w，接受多个输入值x，返回一个输出值y
计算公式为：
其中：
我们可以将b表示为wb，合并到→w中；并且把y表示为向量。这样就便于向量化编程
计算公式变为：
其中：
神经网络
一个神经网络由多层组成，而每层由多个神经元组成。
如下图所示是一个三层神经网络，由一层输入层+两层全连接层组成：
这个网络中最左边的层称为输入层，包含输入神经元；最右边的层称为输出层，包含输出神经元；中间的层则被称为隐藏层
本文以该神经网络为例进行推导
前向传播
从输入层开始，输入层的输出作为隐藏层的输入传入隐藏层，计算出输出：→y隐藏层；
→y隐藏层作为输出层的输入传入输出层，计算出输出：→y输出层，作为整个网络的输出。
公式为：
其中：W为权重矩阵
这就是前向传播算法，也就是从输入层开始，依次传入每层，直到输出层，从而得到每层的输出。
前向传播用来做什么呢？它在训练和推理阶段都有使用：
在训练阶段，前向传播得到了输出层的输出和其余各层的输出，其中计算正确率需要前者，计算后向传播需要前者和后者；
在推理阶段，前向传播得到了输出层的输出，作为推理的结果。比如根据包含一个人的体重、身高这样的一个样本数据，得到了这人是男人还是女人的输出。
梯度下降
推理阶段使用前向传播得到输出值，而前向传播需要知道每层的权重和偏移。
为了在推理阶段能够得到接近真实值的输出值，每层的权重和偏移应该是某个合适的值。那么合适的值应该是多少呢？
我们可以在训练阶段给每层一个初始的权重和偏移（比如说都设为0）；然后输入大量的样本，不断地更新每层的权重和偏移，使得它们逐渐接近合适的值。
那么，什么值才是合适的值呢？
我们可以构建一个目标函数，用来在训练阶段度量输出层的输出值和真实值的误差大小：
其中→y输出层为输出层的输出值，→y真实为真实值，E为目标函数，e为误差
当误差e最小时，输出层的输出值就最接近真实值。因为E是输出层的权重和偏移(→w输出层）)的函数（因为E是→y输出层的函数，而→y输出层又是→w输出层的函数，所以E是→w输出层的函数），所以此时的→w输出层就是合适的值
如何求E的最小值点呢？对于计算机来说，可以一步一步的去把函数的极值点试出来，如下图所示：
首先，我们随便选择一个点开始，比如上图的x0。接下来，每次迭代修改X为x1,x2,x3......经过数次迭代后最终达到函数最小值点。
你可能要问了，为啥每次修改X，都能往函数最小值那个方向前进呢？这里的奥秘在于，我们每次都是向函数y=f(x)的梯度的相反方向来修改X。
什么是梯度呢？梯度是一个向量，它指向函数值上升最快的方向。显然，梯度的反方向当然就是函数值下降最快的方向了。
我们每次沿着梯度相反方向去修改X，当然就能走到函数的最小值附近。
之所以是最小值附近而不是最小值那个点，是因为我们每次移动的步长不会那么恰到好处，有可能最后一次迭代走远了越过了最小值那个点。步长的选择是门手艺，如果选择小了，那么就会迭代很多轮才能走到最小值附近；如果选择大了，那可能就会越过最小值很远，收敛不到一个好的点上。
按照上面的讨论，我们就可以写出梯度下降算法的公式：
其中df(x)dx是梯度，η是步长，也称作学习率
只要把f替换为E，X分别替换为W输出层、W隐藏层，x0分别替换为初始的→w输出层、初始的→w隐藏层，就可以得到使E达到最小值的梯度下降算法的公式：
其中W输出层new为输出层的权重矩阵，W隐藏层new为隐藏层的权重矩阵，w输出层为输出层的权重值，w隐藏层为隐藏层的权重值，
总结
神经网络的使用可以分成两个阶段：
训练和推理
训练阶段
先进行前向传播，得到每层的输出；
然后进行后向传播，根据每层的误差项而计算出上一层的误差项，并且计算每层的梯度（关于后向传播详见神经网络前向和后向传播推导（二）：全连接层->推导后向传播）；
最后按照梯度下降算法，更新每层的权重和偏移。
可以用下面的公式来表达训练：
每层的权重和偏移=训练(大量的样本)
其中W为包含每层的权重和偏移向量的矩阵
推理阶段
使用训练阶段得到的每层的权重和偏移，进行前向传播，得到输出层的输出作为推理结果。
可以用下面的公式来表达推理：