机器学习笔记(3): 神经网络初步

合集 - 机器学习笔记(3)

1.机器学习笔记(1): 梯度下降算法06-022.机器学习笔记(2): Logistic 回归06-07

3.机器学习笔记(3): 神经网络初步06-08

收起

神经网络应该由若干神经元组成。

前面的每一个神经元都会给到一个参数，将传递的所有参数看作一个向量 →x，那么此神经元的净输入为：

z=xω+b

其中 ω 称为权重向量。

这里认为 x 是行向量，而 ω 是列向量。

神经元还有一个激活函数 f(⋅)：

a=f(z)

称为函数的活性值

一般来说，我们使用 Logistic 函数，即 σ(x)=11+exp(−x) 作为激活函数。

激活函数

激活函数有很多很多种，一般来说要满足以下几点：

1. 连续且可导的非线性函数。
2. 函数本身和其导数要尽可能简单。
3. 值域要在一个合适的区间内

这里列举几种常见的函数。

Sigmoid 型

指一类两端饱和的 S 型曲线。

饱和：
limx→−∞f′(x)=0 称为左饱和，limx→∞f′(x)=0 称为右饱和。
同时满足则称为两端饱和。

常见的 Sigmoid 型函数有 Logistic 和 Tanh。

• Logistic 函数

σ(x)=11+exp(−x)

其导数：

σ′(x)=exp(−x)(1+exp(−x))2=σ(x)(1−σ(x))

• Tanh 函数

tanh(x)=exp(x)−exp(−x)exp(x)+exp(−x)

其可以看作缩放平移后的 σ，因为：

tanh(x)=2σ(2x)−1

自然其导数：

tanh′(x)=4σ(2x)(1−σ(2x))=4(exp(x)+exp(−x))2

实际上我们可以通过近似的方法去拟合这个函数，毕竟 ex 也不是那么好算的。

• Hard-Logistic 和 Hard-Tanh 函数

hard−σ(x)={1x>2x4+12x∈[−2,2]0x<2

或者利用 min,max 简化：

hard−σ(x)=max(min(x4+12,1),0)

类似的：

hard−tanh(x)=max(min(x,1),−1)

ReLU

也就是 Rectified Linear Unit，线性修正单元，定义为：

ReLU(x)={xx≥00x<0

也就是 ReLU(x)=max(x,0)

当然，因为可能出现 死亡 ReLU 问题，所以一般有如下变形：

PReLU(x)={xx≥0γxx<0

如果 γ=0 则退化为 ReLU 函数，如果 γ<1，那么也可以写为：

LeakyLU(x)=max(x,γx)

另一个变形是：

ELU(x)={xx≥0γ(exp(x)−1)x<0

还有一个则是：

Softplus(x)=log(1+exp(x))

Swish 函数

这是一种自控门函数：

swish(x)=xσ(βx)

网络结构

网络结构分三种：

• 前馈网络
• 记忆网络
• 图网络

这里先讲述前馈网络。

这是一个前馈网络的示意图，其中第一层为输入层，最后一层为输出层。

而中间的那些层称为隐藏层。隐藏层可以有多个，而这里只画出了一个。

每一层有若干神经元，而两层间的神经元两两相连。

现在我们定义一些符号：

• L 表示总层数，注意这里输入层为第 0 层，不计入其中；输出层为第 L 层。
• Ml 表示第 l 层的神经元数量。
• fl(⋅) 表示第 l 层的激活函数。
• W(l)∈RMl×Ml−1 表示第 l−1 层到第 l 层的权重矩阵（若干权重向量组成）。
• b(l)∈RMl 表示第 l 层的偏置。
• z(l)∈RMl 表示净输入。
• a(l)∈RMl 表示输出。

对于一组数据 (→x,y)，前馈神经网络通过如下算法进行传播：

z(l)=W(l)a(l−1)+b(l)a(l)=fl(z(l))

参数学习

参数学习可能略有点复杂，证明过程我懒得写成 LATEX，这里就省略了。

我们利用反向传播算法进行学习，其步骤如下：

• 选取一个数据，计算 a(l) 和 z(l)。
• 反向传播每一层的误差 δ(l)
• 计算每一层的偏导数，更新参数

显然的是 δ(L)=a(L)−y

经过一番神秘的推导，我们可以得到：

δ(l)=f′l(z(l))⋅((W(l+1))Tδ(l+1))∈RMl

其中 ⋅ 表示元素一一相乘。

而计算偏导数的公式也不难：

∂∂W(l)R(W)=δ(l)(a(l−1))T∂∂b(l)R(W)=δ(l)

也就是参数更新方式为：

W(l)←W(l)−α(δ(l)(a(l−1))T+λW(l))b(l)←b(l)−αδ(l)

但是值得注意的是，一般我们都会将 W(l) 的第一列作为 b(l)，也就是不分开，所以在代码实现上要好生注意！

这是吴恩达机器学习 ex4 的部分代码：

function [J grad] = nnCostFunction(nn_params, ...
                                   input_layer_size, ...
                                   hidden_layer_size, ...
                                   num_labels, ...
                                   X, y, lambda)

% Theta1 25 x 401
% Theta2 10 x 26

Theta1 = reshape(nn_params(1:hidden_layer_size * (input_layer_size + 1)), ...
                 hidden_layer_size, (input_layer_size + 1));

Theta2 = reshape(nn_params((1 + (hidden_layer_size * (input_layer_size + 1))):end), ...
                 num_labels, (hidden_layer_size + 1));
                 
temp1 = Theta1;
temp2 = Theta2;
temp1(:, 1) = 0;
temp2(:, 1) = 0;

m = size(X, 1);
         
J = 0;
Theta1_grad = zeros(size(Theta1));
Theta2_grad = zeros(size(Theta2));

% forward propagation
A2 = sigmoid([ones(m, 1) X] * Theta1'); % m x 25
A3 = sigmoid([ones(m, 1) A2] * Theta2'); % m x 10

% caculate cost
Y = zeros(m, num_labels);
for i = 1:m
	Y(i, y(i)) = 1;
end
J -= sum(sum( log(A3) .* Y + log(1 - A3) .* (1 - Y) ));
J += lambda / 2 * (sum(sum(temp1 .* temp1)) + sum(sum(temp2 .* temp2)));
J /= m;

% Back Propagation

D1 = zeros(size(Theta1));
D2 = zeros(size(Theta2));

for i = 1:m
	a1 = X(i, :); % 1 x 400
	a2 = A2(i, :); % 1 x 25
	a3 = A3(i, :); % 1 x 10
	y = Y(i, :); % 1 x 10
	d3 = (a3 - y)'; % 10 x 1
	d2 = (Theta2' * d3) .* [1 a2]' .* (1 - [1 a2])'; % 26 x 1
	d2 = d2(2:end) ; % 25 x 1
	
	D1 += d2 * [1 a1];
	D2 += d3 * [1 a2];
end

Theta1_grad = (D1 + lambda * temp1) / m;
Theta2_grad = (D2 + lambda * temp2) / m;

% Unroll gradients
grad = [Theta1_grad(:) ; Theta2_grad(:)];

end