数据结构-堆和二叉树

目录

1.树的概念及结构

1.1 树的相关概念

1.2 树的概念

1.3 树的表示

1.4 树在实际中的应用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树的概念及结构

2.1 概念

2.2 特殊的二叉树

2.3 二叉树的存储 

3.堆的概念及结构

4.堆的实现

初始化堆

堆的插入

向上调整法

堆的删除

向下调整法 

取堆顶的数据

堆的数据个数

堆的判空

堆的销毁

完整代码：

 测试：

---

1.树的概念及结构

1.1 树的相关概念

下图就是一个树型结构，我们先来了解一下它的相关概念：

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林 

简单在图中标识一下：

1.2 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点（即没有父节点）
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。

可以这样理解：一个树是由父节点和N颗子树构成的，

如下图所示，红圈内的就是子树：

而且每棵子树也能分为父节点和许多子树，所以说树可以递归定义。

但是注意，树型结构中，子树不能有交集，有交集就不能被称为树型结构。

1.3 树的表示

学了树的概念，我们来看看怎么表示树，一个树有很多子节点，但实际上在定义之前，我们并不知道到底有多少子节点，那树应该怎么定义呢?

实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法 

struct TreNode
{
	struct TreeNode* fristChild;//第一个孩子节点
	struct TreeNode* pNextBrother;//指向下一个兄弟节点
	int data;//节点中的数据域
};

结构体中有两个指针，分别指向第一个孩子节点和它的下一个兄弟节点，那上文中的树型结构用孩子兄弟表示法表示如下：

图中红线是父子节点之间的连线，蓝线是兄弟节点之间的连线，通过这种方式，只要找到第一个孩子，就能找到他的所有兄弟节点。例如：A中fristChild指针指向它的第一个孩子B，B中的fristChild指向它的第一个孩子C，pNextBrother指向他下一个兄弟节点......

1.4 树在实际中的应用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树的概念及结构

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：
    1. 二叉树不存在度大于2的结点。

    2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 特殊的二叉树

我们已经知道了二叉树中每个父节点最多只能有2个子节点，下面来看两种特殊的二叉树：

满二叉树： 

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

完全二叉树：
前h-1层是满的，最后一层可以不满，但是从左到右必须是连续的。

那二叉树在是怎么存储的呢？

2.3 二叉树的存储 

我们可以把它的每一层数据按顺序存储到数组中，父节点和子节点之间下标有相应的关系。

由于满二叉树和完全二叉树它的最后一层前的每一层都是满的，所以适合用数组存储，但是如果不是完全二叉树就不适合用数组存储：

3.堆的概念及结构

概念：

堆必须要满足下面两个条件：
1. 完全二叉树。

2. 大堆：树的任何一个父亲都大于等于孩子。

    小堆：树的任何一个父亲都小于等于孩子。

下面看一道题目：

1.下列关键字序列为堆的是：（）
A 100,60,70,50,32,65
B 60,70,65,50,32,100
C 65,100,70,32,50,60
D 70,65,100,32,50,60
E 32,50,100,70,65,60
F 50,100,70,65,60,32 

答案是A，我们画一下图就能很清楚地看出来了，它既满足完全二叉树，也满足大堆条件。

结构：

注意：有序的数组不代表它就是堆，因为堆只规定父亲和孩子的大小，但是没规定左孩子和右孩子的大小。

堆也有它的应用：

1、堆排序  2、topk  3、优先级队列。这些我们在后面的章节讲。

4.堆的实现

这里我们用数组来实现。

先定义一个结构体：

typedef int HeapDatatype;
typedef struct Heap
{
	HeapDatatype* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

初始化堆

void HeapInit(HP* php)
{
	php->a = (HeapDatatype*)malloc(4*sizeof(HeapDatatype));
	if (php->a == NULL)
	{
		perror("malloc fail\n");
		return;
	}
	php->size = 0;
	php->capacity = 4;
}

堆的插入

void HeapPush(HP* php, HeapDatatype x)
{
	if (php->size == php->capacity)
	{
		HeapDatatype* tmp = (HeapDatatype*)realloc(php->a, sizeof(HeapDatatype) * (php->capacity) * 2);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail\n");
			return;
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity *= 2;
	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;
	AdjustDwon(php->a, php->size-1);
}

向上调整法

堆要么是大堆，树的任意一个父节点都大于等于子节点，要么是小堆，树的任意一个父亲都小于等于孩子，所以我们每插入一个数据都要和它的父亲进行比较，这里使用向上调整法：

假设我们要得小堆，那每当插入的孩子小于父亲时都要交换它们的位置，前文我们讲了，可以通过孩子的下标找到父亲，再把父亲的下标给孩子，直到孩子是根节点或者中途父亲就已经小于孩子，就停止循环（如果要得到大堆，当插入的孩子大于父亲时交换它们的位置）。

void AdjustUp(HeapDatatype*a,int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[parent] > a[child])
		{
			HeapDatatype p = a[parent];
			a[parent] = a[child];
			a[child] = p;
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

堆的删除

删除有两种方法：

   1.  直接删除根节点，然后把剩下的节点重新生成堆。

   2.  删除堆顶元素，然后把最后一个元素放到堆顶，然后使用向下调整法，直到满足堆的性质。

第一种方法过于复杂，我们采用第二种方法。

void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));
	swap(&php->a[0],&php->a[php->size-1]);
	php->size--;
	AdjustDown(php->a, php->size,0);
}

向下调整法 

具体步骤如下：

我们可以通过child=parent*2+1和child=parent*2+2得到父节点的左右子节点，然后从堆顶开始，将堆顶元素与其左右子节点中较小的那个进行比较，如果堆顶元素小于其子节点中的较小值，则将其与较小值交换位置，并继续向下比较，直到堆的性质被满足（如果要得到大堆就与较大的那个进行比较，如果堆顶元素大于子节点中的较大值，则将其和较大值交换位置）

代码如下：

void AdjustDown(HeapDatatype*a, int n,int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child  < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1])
		{
			child++;
		}
		if (a[parent] > a[child])
		{
			swap(&a[parent],&a[child]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

函数swap()用来交换两个数的值：

swap(HeapDatatype* p1, HeapDatatype* p2)
{
	HeapDatatype tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

取堆顶的数据

堆顶数据就是数组中下标为0的数据。 

 代码如下：

HeapDatatype HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));
	return php->a[0];
}

堆的数据个数

int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}

堆的判空

bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

堆的销毁

void HeapDestory(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}

完整代码：

test.c

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"
int main()
{
	HP hp;
	HeapInit(&hp);
	int arr[] = { 65,100,70,32,50,60 };
	int i = 0;
	for (i = 0; i < sizeof(arr) / sizeof(int); i++)
	{
		HeapPush(&hp, arr[i]);
	}
	while (!HeapEmpty(&hp))
	{
		HeapDatatype top = HeapTop(&hp);
		printf("%d ", top);
		HeapPop(&hp);
	}
	return 0;
}

Heap.h

#pragma once
#include
#include
#include
#include
 
typedef int HeapDatatype;
typedef struct Heap
{
	HeapDatatype* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;
//堆的初始化
void HeapInit(HP* php);
//堆的销毁
void HeapDestory(HP* php);
//堆的插入
void HeapPush(HP* php,HeapDatatype x);
//堆的删除
void HeapPop(HP* php);
//取堆顶元素
HeapDatatype HeapTop(HP* php);
//堆中数据个数
int HeapSize(HP* php);
//堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php);
//向上调整法
void AdjustUp(HeapDatatype* a, int child);
//向下调整法
void AdjustDown(HeapDatatype* a, int n, int parent);

Heap.c 

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"
//堆的初始化
void HeapInit(HP* php)
{
	php->a = (HeapDatatype*)malloc(4*sizeof(HeapDatatype));
	if (php->a == NULL)
	{
		perror("malloc fail\n");
		return;
	}
	php->size = 0;
	php->capacity = 4;
}
//堆的销毁
void HeapDestory(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}
//交换两数值
swap(HeapDatatype* p1, HeapDatatype* p2)
{
	HeapDatatype tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
//向上调整法
void AdjustUp(HeapDatatype*a,int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[parent] > a[child])
		{
			swap(&a[parent],&a[child]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//堆的插入
void HeapPush(HP* php, HeapDatatype x)
{
	if (php->size == php->capacity)
	{
		HeapDatatype* tmp = (HeapDatatype*)realloc(php->a, sizeof(HeapDatatype) * (php->capacity) * 2);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail\n");
			return;
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity *= 2;
	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;
	AdjustUp(php->a, php->size-1);
}
//向下调整法
void AdjustDown(HeapDatatype*a, int n,int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child  < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1])
		{
			child++;
		}
		if (a[parent] > a[child])
		{
			swap(&a[parent],&a[child]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}
//堆的删除
void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));
	swap(&php->a[0],&php->a[php->size-1]);
	php->size--;
	AdjustDown(php->a, php->size,0);
}
//取堆顶元素
HeapDatatype HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));
	return php->a[0];
}
//堆的数据个数
int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}

 测试：

我们要得到的是小堆，通过调试可以看到，堆中的元素依次是 32 50 60 100 65 70

很明显，满足小堆的性质。

我们再来打印一下堆顶元素， 

每次pop后再打印堆顶元素出来，数据是升序，那说明堆可以实现数据的排序，那我们用堆排序每次都要写一个堆出来吗，那岂不是太麻烦了？ 

 下节我们再来详细讲解堆排序及相关问题，未完待续。。。