高等数学教材重难点题型总结（一）函数与极限

 强化阶段的另一个专题，本专题主要总结高数课本上的经典例题与课后题，尤其一部分加*标的题目，对于冲击高分的同学来说，必须熟练掌握。

（蓝色代表难点，红色代表重点，紫色代表重难点）

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1.根据对应法则判断两函数是否相等

2.反函数的抽象

3.证明有界的充要条件是上有界且下有界

4.根据现有函数抽象定义域

5.有界与收敛的联系辨别

6.数列极限定义的判断题

7.数列极限的证明题

8.根据数列定义求极限

9.数列的综合证明题

10.结合图形判断极限的存在性

11.通过定义证明极限值

12.有关函数极限的综合应用题

13.根据定义证明无穷小

14.用定义证明无穷大

15.极限的基础求解技巧归纳

16.证明极限的运算法则

17.函数夹逼定理的证明

18.利用极限存在准则证明极限值

19.证明无穷小成立

20.利用等价无穷小求极限

21.证明无穷小的传递性

22.讨论函数的间断点情况

23.第一章正统的极限极限求解方式

24.有关函数连续的证明题

25.改变条件使得函数在区间上连续

26.零点定理的相关证明题

27.介值定理的相关证明题

1.要理解函数的定义，对应法则是一个重点~
2.反函数本质上就是旋转坐标系的操作，需要注意的是，反函数的相互嵌套会相互抵消，比如：

sin（arcsinx）= x

3.函数有界的定义是既上有界又下有界~

4.求解函数定义域，先将括号内部的式子按定义域写出，再根据实际情况调整~

5.有界不一定收敛（震荡），但是收敛一定有界~

6.比较抽象，看看就行，重点在于理解N和伊普西龙在定义中的职能~

7. 均为套式，根据定义先写出通项与极限值的差，再令这个差值小于伊普西龙换算出n和伊普西龙的关系式，再令N大于等于这个值（则可以保证n大于这个N时，之前的极限值差可以小于任意小的伊普西龙~）

8.根据定义求极限，同理，往往是先做出合理猜测再进行证明

9.数列的综合证明题，核心同样是定义式

10.结合图形判断极限的存在性时，要明确一个很重要的点——极限值与该点的函数值没有必然联系~

11.证明函数的极限值与证明与数列的操作一致，只不过是找德尔塔与伊普西龙的关系

 

 

12.综合证明题在考研中都算很难的题，大家结合个人情况理性讨论~

13.根据定义证明无穷小，首先要写出无穷小的极限定义式，再证明这个定义式正确！

14.无穷大的证明同理

15.至于计算极限的基础技能，这里不细说，可以参考【宋浩老师笔记】系列 

 

 

16——22，同样是一些综合证明题，同样是推荐学有余力再看~

 23总结了一些正统的极限求解方法——即回归定义本质+极限运算法则+重要极限+无穷小代换等，而不包括泰勒和洛必达等十分吃技巧性的方式

24——27也是证明题，考研中出现频率很高~

零点定理指的是一个多项式函数在定义域内的零点的存在性和数量问题。它可以表示为：存在一个多项式函数f(x)，如果在定义域[a,b]内，f(a)和f(b)的符号不同，那么f(x)至少有一个零点在[a,b]区间内。这个定理的实质是解决了多项式函数在定义域内存在零点的问题。

此外，可以利用介值定理定理来解决方程根是否存在,根的个数和根的范围等的问题。介值定理是一个简单的定理,但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目.此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理.介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一，了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。