二叉树—相关计算题

目录

 一、概念题

二、计算题 

1、节点数 

2、深度 

3、遍历序列

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 一、概念题

1、在用树表示的目录结构中，从根目录到任何数据文件，有（ ）通道 

 答案：唯一一条，树的特点是不相交，所以不可能有多个路径同时到达一个点。

2、下列关于树的叙述正确的是（ ）

A.树中可以有环

B.树的度是指所有结点中度最小的结点的度

C.树的深度指的是结点数最多的那一层的深度

D.树的根结点是所有结点的祖先结点

答案：D

A: 树中的节点不能相交

B: 树的度为所有节点中度最大的节点的度

C: 树的深度为根节点到叶子节点的最大深度

3、下列关于二叉树的叙述错误的是（   ）

A.二叉树指的是深度为 2 的树

B.一个 n 个结点的二叉树将拥有 n-1 条边

C.一颗深度为 h 的满二叉树拥有 2^h-1 个结点（根结点深度为1）

D.二叉树有二叉链和三叉链两种表示方式

答案：A

A错误: 二叉树指最大孩子个数为2，即树的度为二的树。深度描述的为树的层数。

B正确: 对于任意的树都满足：边的条数比节点个数少1，因为每个节点都有双亲，但是根节点没有

C正确: 正确，参加二叉树性质

D正确: 二叉链一般指孩子表示法，三叉连指孩子双亲表示法，这两种方式是二叉树最常见的表示方式，虽然还有孩子兄弟表示法，该中表示方式本质也是二叉链

4、在一颗完全二叉树中，某一个结点没有其左孩子，则该结点一定（ ）

A.是根结点

B.是叶结点

C.是分支结点

D.在倒数第二层

答案：B

完全二叉树中如果一个节点没有左孩子，则一定没有右孩子，必定为一个叶子节点，最后一层一定为叶子节点，但是倒数第二层也可能存在叶子节点。

5、一棵非空的二叉树的先序遍历序列与后序遍历序列正好相反，则该二叉树一定满足 ()

A.所有的结点均无左孩子

B.所有的结点均无右孩子

C.只有一个叶子结点

D.至多只有一个结点

答案：C

• 前序遍历：根 左 右
• 后序遍历：左 右 根

从二叉树 前序 和 后序遍历结果规则中可以看出，如果树中每个节点只有一个孩子时，遍历结果肯定是反的

比如下面这前序和中序序列所构成的树的结构:

• 12345
• 54321

故每个节点只有一个孩子，即只有一个叶子节点

二、计算题 

1、节点数 

1、在一颗度为3的树中，度为3的结点有2个，度为2的结点有1个，度为1的结点有2个，则叶子结点有（ ）个

答案为 6 个。 

• 设度为i的节点个数为ni, 该树总共有n个节点,则n=n0+n1+n2+n3. 
• 有n个节点的树的总边数为n-1条.
• 根据度的定义,总边数与度之间的关系为：n-1=0*n0+1*n1+2*n2+3*n3.
• 联立两个方程求解,可以得到n0 = n2 + 2n3 + 1,  n0=6

2、一颗完全二叉树有1001个结点，其叶子结点的个数是（ ）

答案：501

• 在任意二叉树中，度为0的节点都比度为2的节点多1个，即 n0 = n2 + 1
• 另外，在完全二叉树中，如果节点总个数为奇数，则没有度为1的节点，如果节点总个数为偶数，只有一个度为1的节点
• 因此：n0 + n1 + n2 = 1001 节点总数为奇数，没有度为1的节点
• n0 + 0 + n2 = 2*n0-1 = 1001 n0 = 501

3、设一棵二叉树中有3个叶子结点，有8个度为1的结点，则该二叉树中总的结点数为（ ）个

答案：13

• 设Ni表示度为i的节点个数，则节点总数 N = N0 + N1 + N2
• 节点个数于节点边的关系： N个节点的树有N-1个边
• 边与度的关系：N - 1 = N1 + 2 * N2
• 故：N0 + N1 + N2 - 1 = N1 + 2 * N2
• 因此，得：N0 = N2 + 1
• 回到原题，N0 = 3，N1 = 8，可得N2 = 2。
• 因此答案是 3 + 8 + 2 = 13。

4、2-3树是一种特殊的树，它满足两个条件：

(1) 每个内部结点有两个或三个子结点

(2) 所有的叶结点到根的距离相同

如果一颗2-3树有10个结点，那么它有( )个叶结点。

 答案：6

根据题目意思，每一个非叶子节点至少有两个孩子节点，并且叶子节点都在同一层，所以，假设树的高度为h， 则二三树种最小的节点个数为满二叉树的个数：2^h - 1, 最大个数： (3^h - 1) / 2。所以 2^h - 1 < 10 < (3^h - 1) / 2, h为3，结构是1(3(2,2,2))。所以叶节点个数为6

5、设某种二叉树有如下特点：每个结点要么是叶子结点，要么有2棵子树。假如一棵这样的二叉树中有m（m>0）个叶子结点，那么该二叉树上的结点总数为（ ） 

 答案：2m-1

• 根据二叉树的性质，在任意的二叉树中，度为0的节点比度为2的节点多1个
• 现在叶子节点为m个，即度为0的节点有m个，那度为2的节点个数就为m-1个
• 而题目说该二叉树中只有度为2和度为0的节点 ，
• 因此总的节点数就为：m+m-1 = 2m-1

6、对任意一颗二叉树，设N0、N1、N2分别是度为0、1、2的结点数，则下列式子中一定正确的是（ ）

A.N0 = N2 + 1

B.N1 = N0 + 1

C.N2 = N0 + 1

D.N2 = N1 + 1

答案：A

节点总数N： N = N0 + N1 + N2

度和边的关系： N - 1 = 0 * N0 + 1 * N1 + 2 * N2

上面两个式子可以推出： N0 + N1 + N2 - 1 = N1 + 2 * N2

可得： N0 = N2 + 1

 

2、深度 

1、一颗拥有1000个结点的树度为4，则它的最小深度是（ ） 

答案：6

如果这棵树每一层都是满的，则它的深度最小，假设它为一个四叉树，高度为h，则这个数的节点个数为(4^h - 1) / 3，当h = 5, 最大节点数为341， 当h = 6, 最大节点数为1365，所以最小深度应该为6。 

 3、遍历序列

1、 已知某二叉树的前序遍历序列为5 7 4 9 6 2 1，中序遍历序列为4 7 5 6 9 1 2，则其后序遍历序列为（ ）

答案：4 7 6 1 2 9 5

通过前序遍历找到子树的根，在中序遍历中找到根的位置，然后确定根左右子树的区间，即根的左侧为左子树中所有节点，根的右侧为右子树中所有节点。

• 故：根为： 5
• 5的左子树：4 7   5的右子树： 6 9  1  2
• 5的左子树的根为: 7  5的右子树的根为：9
• 7的左子树: 4 7的右：空  9的左子树：6  9的右子树：2

故这棵树的结构如下，即后序遍历： 4 7 6 1 2 9 5

 2、.已知某二叉树的中序遍历序列为JGDHKBAELIMCF，后序遍历序列为JGKHDBLMIEFCA，则其前序遍历序列为（ ）

答案：A B D G J H K C E I L M F

由后序遍历确定子树的根，后序遍历从后向前看，最后一个元素为根，和前序遍历刚好相反，从后向前看后序遍历，应该是根，右，左，根据中序遍历确定子树的左右区间

故：根为: A

• A的左子树：JGDHKB       A的右子树：ELIMCF
• A的左子树的根：B        A的右子树的根：C
• B的左子树：JGDHK  B的右子树：空  C的左子树：ELIM C的右子树：F
• B的左子树的根：D         C的左子树根：E
• D的左子树的根：G D的右子树的根：H  E的右子树的根:I

故树的结构如下，前序遍历：A B D G J H K C E I L M F

 3、.已知某二叉树的前序遍历序列为ABDEC，中序遍历序列为BDEAC，则该二叉树（ ）

A.是满二叉树

B.是完全二叉树，不是满二叉树

C.不是完全二叉树

D.是所有的结点都没有右子树的二叉树

答案：C

前序确定根，中序找到根确定根的左右子树，最后还原二叉树为：

前： ABDEC        中：BDEAC

所以既不是满二叉树，也不是完全二叉树

 4、二叉树的后序非递归遍历中，需要的额外空间包括（ ）

A.一个栈

B.一个队列

C.一个栈和一个记录标记的顺序表

D.一个队列和一个记录标记的顺序表

答案：C

需要一个栈模拟递归的过程， 一个顺序表保存节点。

 5、二叉树的( )遍历相当于广度优先遍历，( )遍历相当于深度优先遍历

 答案：层序 前序

• 广度优先需要把下一步所有可能的位置全部遍历完，才会进行更深层次的遍历，层序遍历就是一种广度优先遍历。
• 深度优先是先遍历完一条完整的路径（从根到叶子的完整路径），才会向上层折返，再去遍历下一个路径，前序遍历就是一种深度优先遍历。

 6、如果一颗二叉树的前序遍历的结果是ABCD，则满足条件的不同的二叉树有（ ）种

答案：14 

首先这棵二叉树的高度一定在3~4层之间:

三层：

• A(B(C,D),()), A((),B(C,D)), A(B(C,()),D), A(B((),C),D),
• A(B,C(D,())), A(B,C((),D))

四层：

• 如果为四层，就是单边树，每一层只有一个节点，除过根节点，其他节点都有两种选择，在上层节点的左边还是右边，所以2*2*2共8种

总共为14种。