61 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的 左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3

解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

• 向右 -> 向下 -> 向下
• 向下 -> 向下 -> 向右
• 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 $2\ast 10^9$

重点：从左上角移动到右下角，m-1次向右，n-1次向下

题解1 DP

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        // 必要的初始化
        for(int i = 0; i < m; i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int i = 0; i < n; i++){
            dp[0][i] = 1;
        }
        // 递推公式：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] (只和i和i-1有关，可以用滚动数组优化)
        for(int i = 1; i < m; i ++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};
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降维——滚动数组

因为计算时，当前位置(i,j)的数据只和当前行的第j-1个数据和前一行的第j个数据有关，所以当计算当前行的第j个数据时，可以直接把上一行的第j个数据覆盖，不影响计算结果（即用第i行的数据逐渐覆盖第i-1行，不影响计算结果）。

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<int> fn(n, 1);
        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                fn[j] += fn[j-1];
            }
        }
        return fn[n-1];
    }
};
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题解2 求解组合$C_{m+n-2}^{m-1}$的值

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        long long ans = 1;
        for (int x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
            ans = ans * x / y;
        }
        return ans;
    }
};
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