快速幂求逆元

思路

题意：
给出两个整数 $a,p$，其中 $p$ 是质数，求出一个整数 $b$，使得 $a\ast b=1(modp)$ 成立（即求 $a$ 模 $p$ 的乘法逆元）。

首先我们需要记住费马小定理：若 $p$ 为质数且 $amodp!=0$，那么式子 $a^{p-1}=1(modp)$ 成立。
我们可以把这个式子转化为 $p\ast a^{p-2}=1(modp)$。

那么易知：
当 $amodp!=0$ 时，需要求的乘法逆元 $b$ 的值等于 $a^{p-2}$；当 $amodp=0$ 时，乘法逆元不存在。

$Code$

#include 
#define int long long
#define sz(a) ((int)a.size())
#define all(a) a.begin(), a.end()
using namespace std;
using PII = pair<int, int>;
using i128 = __int128;
const int N = 2e5 + 10;

int qpow(int a, int b, int p) {
	int res = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) {
			res = res * a % p;
		}
		a = a * a % p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

signed main() {
	int a, p;
	cin >> a >> p;
	if (p >= 2 && a % p) {
		cout << qpow(a, p - 2, p) << "\n";
	} else {
		cout << "impossible\n";
	}
	return 0;
}
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