数学分析：级数

一致收敛性想要解决的问题是，对于取极限的函数族，和原始函数之间的一些一致性关系。

 这是一个绝妙的例子。有x和t两个未知数，当t趋向于0的时候，f(x)=0. 不论x取什么值，都是成立的。这个很妙，里如x很小，但因为t趋向于0，所t一定能比x更小。也就是说，在这种情况下，f(x)就是一个恒为0的函数。然而，这个函数的函数族中，最大值并不是0.也就是说，虽然t趋向于0，但在任何t的基内，x都可以取到一个值，就是x=t，它不为0.

这个理论虽然看上去有点奇怪，但也是为了解决一些问题。对于一些复杂的函数或者非初等函数，我们要做微分和积分是困难的。这个时候如果可以展开成幂级数，那么自然就可以进行相对简单的微分积分操作。但是前提是我们需要证明这个级数是收敛的。或者是一致收敛的，这样我们才好进行积分和微分的极限交换操作。

 

 这个积分的结果不是初等函数，我们可以用麦克老林级数展开，同时证明这个级数是一致收敛的。