贝叶斯公式——假阳性问题

某医生用一种检测技术诊断就诊者是否患肝癌，他需针对已得知的检测结果做出判断：就诊者是否患病？

分析：实验结果无非是如下四种情况：

 

记 A={检测结果显示就诊者患有肝癌}，B={就诊者确实患有肝癌}，我们已得到以下概率数据：

• P(B)=0.0004（患者在人群占比很低）
• P(A|B)=0.95（对肝癌患者的检测准确率很高）
• P(A非|B非)=0.9（对非肝癌患者的检测准确率也很高）

用贝叶斯公式计算出某人被该方法检测为肝癌，而确实患有肝癌的概率：

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应用这种检测准确率很高的检查方法，诊断就诊者确实患病的概率竟不到 0.4%！如何认知这个事后概率？若医生根据此事后概率值，断言一名检测结果显示患病的就诊者实际患病的可能性极低，你能接受吗？这样的解释合理吗？

可以注意到贝叶斯计算式中事件 B={就诊者确实患有肝癌} 发生的概率值 P(B) 极低，仅为10^(-4)，致使计算出的概率 P(B|A) 很小。实际上，取“患者在人群中占比”作为事件B的概率是不合理的，因为就诊者往往是有一些征兆才会到医院寻诊，其患病的可能性应远超一般人群。

用贝叶斯公式计算事后概率，必须用到事前概率。一般情况下，在进行试验前不清楚各事前概率P(B)取何值。假阳性问题中若主观假定事前概率 P(B)=0.5，并代入贝叶斯公式可得到：

 

诊断患病而且实际患病的概率得以大幅提高！从数值计算来看，将事件B发生的概率由0.0004修改为0.5，凸显了肝癌患者的检测准确率因素。

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下表有助于理解贝叶斯公式：