IIR滤波器

IIR滤波器原理

IIR的特点是：非线性相位、消耗资源少。

IIR滤波器的系统函数与差分方程如下所示：

由差分方程可知IIR滤波器存在反馈，因此在FPGA设计时要考虑到有限字长效应带来的影响。差分方程中包括两个部分：输入信号x(n)的M节延时网络，相当于FIR的网络结构，实现系统的零点；输出信号y(n)的N节延时网络，作为系统的反馈，实现系统的极点。

直接由差分方程得到的IIR滤波器称为直接I型结构，如下图所示，左边为零点部分，右边为极点部分：

如果由IIR的系统函数出发，视作两个系统的级联，并且合并公共的延时支路，得到的IIR滤波器称为直接II型结构，如下图所示：

很明显，直接I型结构需要2N个延时单元；直接II型结构仅需要N个延时单元，使用FPGA设计时采用直接II型结构可以节省一些资源。

级联型结构与直接型结构相比：

1.每一个级联部分中的反馈网络很少，易于控制有限字长效应带来的影响，且IIR滤波器的阶数一般较小。

2.便于准确实现数字滤波器的零/极点，每一级分开调整。

3.运算速度快；占用资源少(除法采用移位)。

4.若除法采用移位，每一级都需要用近似移位实现除法运算，与理想误差较大。

IIR滤波器设计

设计一个4阶IIR低通滤波器，采样频率为8MHz，截至频率为2MHz，阻带衰减为40dB,滤波器量化位数12bits。

级联设计

第一级滤波器

其中系数乘法用移位和加法代替，有利于减少乘法器资源。

module FirstTap (
	rst,clk,Xin,
	Yout);
	
	input		rst;   //复位信号，高电平有效
	input		clk;   //FPGA系统时钟，频率为2kHz
	input	 signed [11:0]	Xin;  //数据输入频率为2kHZ
	output signed [11:0]	Yout; //滤波后的输出数据
	
	//零点系数的实现代码/
	//将输入数据存入移位寄存器中
	reg signed[11:0] Xin1,Xin2;
	always @(posedge clk or posedge rst)
		if (rst)
			//初始化寄存器值为0
			begin
				Xin1 <= 12'd0;
				Xin2 <= 12'd0;
		   end	
		else
		   begin
				Xin1 <= Xin;
				Xin2 <= Xin1;
			end
			
   //采用移位运算及加法运算实现乘法运算
	wire signed [23:0] XMult0,XMult1,XMult2;
	assign XMult0 = {{6{Xin[11]}},Xin,6'd0}+{{7{Xin[11]}},Xin,5'd0}-{{11{Xin[11]}},Xin,1'd0};        //*94
	assign XMult1 = {{5{Xin1[11]}},Xin1,7'd0}+{{9{Xin1[11]}},Xin1,3'd0}+{{10{Xin1[11]}},Xin1,2'd0};  //*140 (2^7+ 2^3 + 2^2)
	assign XMult2 = {{6{Xin2[11]}},Xin2,6'd0}+{{7{Xin2[11]}},Xin2,5'd0}-{{11{Xin2[11]}},Xin2,1'd0};  //*94
 
	//对滤波器系数与输入数据乘法结果进行累加
	wire signed [23:0] Xout;
	assign Xout = XMult0 + XMult1 + XMult2;
	
	
	//极点系数的实现代码///
	wire signed[11:0] Yin;
	reg signed[11:0] Yin1,Yin2;
	always @(posedge clk or posedge rst)
		if (rst)
			//初始化寄存器值为0
			begin
				Yin1 <= 12'd0;
				Yin2 <= 12'd0;
			end
		else
		   begin
				Yin1 <= Yin;
				Yin2 <= Yin1;
			end
			
	//采用移位运算及加法运算实现乘法运算
	wire signed [23:0] YMult1,YMult2;
	wire signed [23:0] Ysum,Ydiv;
	assign YMult1 = {{2{Yin1[11]}},Yin1,10'd0}+{{5{Yin1[11]}},Yin1,7'd0}+{{6{Yin1[11]}},Yin1,6'd0}-
	                {{11{Yin1[11]}},Yin1,1'd0}-{{12{Yin1[11]}},Yin1};  //*1213=1024+128+64-2-1
	assign YMult2 = {{4{Yin2[11]}},Yin2,8'd0}+{{9{Yin2[11]}},Yin2,3'd0}+{{10{Yin2[11]}},Yin2,2'd0}; //*268=256+8+4
	                

	//第一级IIR滤波器实现代码///
	assign Ysum = Xout+YMult1-YMult2;	
	assign Ydiv = {{11{Ysum[23]}},Ysum[23:11]};//2048
	//根据仿真结果可知，第一级滤波器的输出范围可用9位表示
  assign Yin = (rst ? 12'd0 : Ydiv[11:0]);
	//增加一级寄存器，提高运行速度
	reg signed [11:0] Yout_reg ;
	always @(posedge clk)
		Yout_reg <= Yin;
	assign Yout = Yout_reg;
	
endmodule
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第二级滤波器

module SecondTap (
	rst,clk,Xin,
	Yout);
	
	input		rst;   //复位信号，高电平有效
	input		clk;   //FPGA系统时钟，频率为2kHz
	input	 signed [11:0]	Xin;  //数据输入频率为2kHZ
	output signed [11:0]	Yout; //滤波后的输出数据
	
	//零点系数的实现代码/
	//将输入数据存入移位寄存器中
	reg signed[11:0] Xin1,Xin2;
	always @(posedge clk or posedge rst)
		if (rst)
			//初始化寄存器值为0
			begin
				Xin1 <= 12'd0;
				Xin2 <= 12'd0;
		   end	
		else
		   begin
				Xin1 <= Xin;
				Xin2 <= Xin1;
			end
			
   //采用移位运算及加法运算实现乘法运算
	wire signed [23:0] XMult0,XMult1,XMult2;
	assign XMult0 = {{1{Xin[11]}},Xin,11'd0};    //*2048
	assign XMult1 = {{4{Xin1[11]}},Xin1,8'd0}+{{6{Xin1[11]}},Xin1,6'd0}+{{10{Xin1[11]}},Xin1,2'd0};  //*324=256+64+4
	assign XMult2 = {{1{Xin2[11]}},Xin2,11'd0};  //*2048
 
	//对滤波器系数与输入数据乘法结果进行累加
	wire signed [23:0] Xout;
	assign Xout = XMult0 + XMult1 + XMult2;
	
	
	//极点系数的实现代码///
	wire signed[11:0] Yin;
	reg signed[11:0] Yin1,Yin2;
	always @(posedge clk or posedge rst)
		if (rst)
			//初始化寄存器值为0
			begin
				Yin1 <= 12'd0;
				Yin2 <= 12'd0;
			end
		else
		   begin
				Yin1 <= Yin;
				Yin2 <= Yin1;
			end
			
	//采用移位运算及加法运算实现乘法运算
	wire signed [23:0] YMult1,YMult2;
	wire signed [23:0] Ysum,Ydiv;
	assign YMult1 = {{1{Yin1[11]}},Yin1,11'd0}-{{5{Yin1[11]}},Yin1,7'd0}-{{9{Yin1[11]}},Yin1,3'd0}-
	                {{10{Yin1[11]}},Yin1,2'd0}-{{12{Yin1[11]}},Yin1};  //*1907=2048-128-8-4-1
	assign YMult2 = {{2{Yin2[11]}},Yin2,10'd0}+{{5{Yin2[11]}},Yin2,7'd0}+{{8{Yin2[11]}},Yin2,4'd0}+ 
	                {{11{Yin2[11]}},Yin2,1'd0}+{{12{Yin2[11]}},Yin2};  //*1171=1024+128+16+2+1

	//第一级IIR滤波器实现代码///
	assign Ysum = Xout+YMult1-YMult2;	
	assign Ydiv = {{11{Ysum[23]}},Ysum[23:11]};//2048
	//根据仿真结果可知，第一级滤波器的输出范围可用9位表示
   assign Yin = (rst ? 12'd0 : Ydiv[11:0]);
	//增加一级寄存器，提高运行速度
	reg signed [11:0] Yout_reg ;
	always @(posedge clk)
		Yout_reg <= Yin;
	assign Yout = Yout_reg;
	
endmodule
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顶层模块

module IIRCas (
	rst,clk,Xin,
	Yout);
	
	input		rst;   //复位信号，高电平有效
	input		clk;   //FPGA系统时钟，频率为8MHz
	input	 signed [11:0]	Xin;  //数据输入频率为8MHZ
	output signed [11:0]	Yout; //滤波后的输出数据
	
	//实例化第一级滤波器运算模块
	wire signed [11:0] Y1;
	FirstTap U1 (
		.rst (rst),
		.clk (clk),
		.Xin (Xin),
		.Yout (Y1));

	//实例化第二级滤波器运算模块
	SecondTap U2 (
		.rst (rst),
		.clk (clk),
		.Xin (Y1),
		.Yout (Yout));

		
endmodule
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仿真结果

FIR和IIR比较

参考：

如何快速设计一个IIR滤波器