Day41.动规：整数拆分、不同的二叉搜索树

Day41.动规：整数拆分、不同的二叉搜索树

0343.整数拆分

链接：0343.整数拆分

1. dp[i]的含义：i拆分的最大乘积
2. 从1遍历到j，一个可能最大乘积是j*(i-j)，相当于拆分两个数；另一个是j*dp[i-j]相当于对i-j又做了拆分
3. 初始化：dp[0]=0,dp[1]=0,dp[2]=1，0和1都是无意义的
4. 遍历顺序：从3开始遍历，内层遍历从1开始，同时小于等于i/2

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n)
    {
        // dp[i]的含义：i拆分的最大乘积
        // 递推公式：dp[i]=max(j*dp[i-j],j*(i-j)),j
        // 初始化：dp[0]=0,dp[1]=0,dp[2]=1，0和1都是无意义的
        // 遍历顺序：从3开始遍历，内层遍历从1开始，同时小于等于i/2
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; ++j) {
                dp[i] = max({ dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j] });
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

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0096.不同的二叉搜索树

链接：0096.不同的二叉搜索树

对于n个数，不论这些数是哪些，只要数量是n个，那么组成的二叉搜索树的情况就是一致的。

固定根节点取值，那么以固定值为根节点的情况，为左子树的所有情况乘以右子树所有情况。

对于本题，一个二叉搜索树，从1到n连续。假设以i为根节点，那么左子树就有i-1个元素，右子树就有n-i个节点

1. dp[i]的含义：由i个节点组成的二叉树的的情况
2. 以j为头节点，左边就有j-1个节点，右边有i-j个节点；那么以j为头节点时，就有dp[j-1]*dp[i-j]个情况；递推公式dp[i]=sum(dp[j-1]*dp[i-j]),j=[1,i]
3. 初始化：dp[0]=1，空树也是二叉搜索树；
4. 遍历顺序：从1开始遍历

class Solution {
public:
    int numTrees(int n)
    {
        // dp[i]的含义：由i个节点组成的二叉树的的情况
        // 以j为头节点，左边就有j-1个节点，右边有i-j个节点
        // 那么以j为头节点时，就有dp[j-1]*dp[i-j]个情况
        // dp[i]=sum(dp[j-1]*dp[i-j]),j=[1,i]
        // 初始化：dp[0]=1，空树也是二叉搜索树；
        // 遍历顺序：从1开始遍历，
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            dp[i] = 0;
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

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