【泛函分析】距离空间和赋范空间

距离空间与赋范空间

距离空间的定义

定义. 设 $X$ 是一个非空集合, 若存在函数 $d:X\times X\to \mathbb{R}$, 满足:

(1) $d(x,y)\ge 0$, $\forall x,y\in X$, 且 $d(x,y)=0$ 当且仅当 $x=y$;

(2) $d(x,y)=d(y,x)$, $\forall x,y\in X$;

(3) $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$, $\forall x,y,z\in X$;

则称 $d$ 是 $X$ 上的距离. 进一步地, 若 $X$ 是线性空间, 则定义了距离 $d$ 的 $X$ 称为距离空间, 记为 $(X,d)$.

距离空间中的极限

定义. 设 { x n } \{x_n\} {xn​} 是距离空间中的一个序列, 若存在 $x\in X$, 满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }d(x_n,x)=0$ 则称 { x n } \{x_n\} {xn​} 按距离收敛于 $x$, $x$ 是 { x n } \{x_n\} {xn​} 的极限. 记作 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$ 或 $x_n\to x$.

Theorem. 在距离空间中, 有:

(1) 收敛序列的极限是唯一的;

(2) 收敛序列是有界的;

(3) 若 { x n } \{x_{n}\} {xn​} 收敛, 则 { x n } \{x_{n}\} {xn​} 的任一子列也收敛于同一极限.

证明:

(1) 若 { x n } \{x_{n}\} {xn​} 存在两个极限 $x\ne y$, 则
$$0\le d(x,y)\le d(x,x_n)+d(x_n,y)\to 0(n\to \infty )$$
故 $x=y$, 矛盾.

(2) 任取 $ϵ>0$, 存在 $N$, 当 $n\ge N$ 时, $|x_n-x|\le ϵ$, 即 $|x_n|\le |x|+ϵ$. 记 $M=\underset{1\le n<N}{\max }{x}_n$, 则 x n ≤ max ⁡ { M , ∣ x ∣ + ϵ } x_{n} \leq \max\{M, |x|+\epsilon\} xn​≤max{M,∣x∣+ϵ}.

(3) 设 { x n } \{x_{n}\} {xn​} 的极限为 $x$, 子列 { x n k } \{x_{n_{k}}\} {xnk​​} 的极限为 $y\ne x$, 则 $\underset{n\to \infty }{\lim }d(x_n,x)=0$, 即对任意 $ϵ>0$, $\exists N$, $n\ge N$ 时, $d(x_n,x)\le ϵ$. 进而 $n_k\ge N$ 时, $d(x_{n_k},x)\le ϵ$. 即 $\exists K(N)$, 当 $k>K(N)$ 时, $d(x_{n_k},x)\le ϵ$. 所以 $x$ 也为子列 { x n k } \{x_{n_{k}}\} {xnk​​} 的极限, 与极限唯一性矛盾.

距离空间中的函数连续性

定义. 设 $X,Y$ 是距离空间, $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的映射, 对于 $x_0\in X$, 若对于 $\forall ϵ>0$, 存在 $\delta >0$, 使得对于 $\forall x$, $d(x,x_0)\le \delta$ , 有 $d(Tx,T{x}_0)\le ϵ$, 则称 $T$ 在 $x_0$ 连续. 若 $T$ 在 $X$ 上每一点都连续, 则称 $T$ 在 $X$ 上连续.

定理. $T$ 在 $x_0$ 处连续等价于: (1) 对于 $T{x}_0$ 的任一邻域 $V$, 存在 $x_0$ 的邻域 $U$ 使得 $T(U)\subset V$, 则称 $T$ 在 $x_0$ 处连续.

(2) 对于任意 { x n } \{x_{n}\} {xn​}, $x_n\to x_0$, 序列 $T{x}_n\to T{x}_0$.

证明:

(1) 充分性: 对于任意 $ϵ>0$, 由题设条件可知, 对于 $T{x}_0$ 的邻域 $U(T{x}_0,ϵ)$, 存在 $x$ 的邻域 $U(x,\delta )$, 使得 $T(U)\subset V$, 即对于 $\forall x$, $d(x,x_0)\le ϵ$, $Tx\in V$, 即 $d(Tx,T{x}_0)\le ϵ$.

必要性: 对于 $T{x}_0$ 的邻域 $V=U(T{x}_0,ϵ)$, 由连续性可知, 存在 $\delta >0$, 使得对于 $\forall x$, $d(x,x_0)\le \delta$, 有 $d(Tx,T{x}_0)\le ϵ$, 所以对于 $\forall x\in U(x,\delta )$, 满足 $d(Tx,T{x}_0)\le ϵ$, 即 $T(U(x,\delta ))\subset V$.

(2) 充分性: 任取 $ϵ>0$, 假设 $T$ 在 $x_0$ 处不收敛, 则存在 $ϵ>0$, 使得对于 $\forall \delta >0$, 总存在 $x$, $d(x,x_0)\le \delta$, 有 $d(Tx,T{x}_0)>ϵ$. 取 $\delta =\frac{1}{n}$, 每个 $\delta$ 对应的 $x$ 可构成 { x n } \{x_{n}\} {xn​}, 则 $x_n\to x_0$, 由题设可知, 序列 $T{x}_n\to T{x}_0$. 而 $d(T{x}_n,T{x}_0)>ϵ$, 说明 $T{x}_n\nrightarrow T{x}_0$, 矛盾.

必要性: 设 $T$ 在 $x_0$ 处连续, 则对于 $\forall ϵ>0$, 存在 $\delta >0$, 使得当 $d(x,x_0)\le \delta$ 时, $d(Tx,T{x}_0)\le ϵ$, 若 $x_n\to x_0$, 则存在 $N>0$, 使得当 $n\ge N$ 时, $d(x_n,x_0)\le \delta$, 因此当 $n\ge N$ 时, $d(Tx,T_0)\le ϵ$, 所以 $T{x}_n\to Tx$.

赋范空间的定义

设 $X$ 是一个线性空间, 其标量域为 $K$, 若函数 $\Vert \cdot \Vert :X\to \mathbb{R}$, 满足

(1) $\Vert x\Vert \ge 0$, $\forall x$, 且 $\Vert x\Vert =0$ 当且仅当 $x=0$;

(2) $\Vert ax\Vert =|a|\Vert x\Vert$, $\forall a\in K,\forall x\in X$;

(3) $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$;

则称 $\Vert \cdot \Vert$ 是 $X$ 的范数, 定义了范数 $\Vert \cdot \Vert$ 的线性空间 $X$ 构成赋范空间, 记为 $(X,\Vert \cdot \Vert )$.

注:

(1) 赋范空间 $(X,\parallel \cdot \parallel )$ 可以视为距离空间: 定义 $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$, $\forall x,y\in X$, 可以证明 $d(x,y)$ 是 $X$ 上的距离. 一般也把赋范空间视作距离空间, 距离的定义如上所示.

(2) 范数还有一条常用性质:
$$|\parallel x\parallel -\parallel y\parallel |\le \parallel x-y\parallel$$
证明: 由三角不等式, 有
$$\parallel x\parallel \le \parallel x-y\parallel +\parallel y\parallel$$

$$\parallel y\parallel \le \parallel y-x\parallel +\parallel x\parallel$$

整理即可得上式.

范数的连续性

• 范数 $\Vert x\Vert$ 是连续函数

证明: 范数 $\Vert x\Vert$ 是连续函数的充要条件是: 对于任意 $x\in X$, 满足: 对于任意收敛于 $x$ 的序列 { x n } \{x_{n}\} {xn​}, 有 $\Vert x_n\Vert \to \Vert x\Vert$.

已知 $\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x_n-x\Vert =0$, 求证 $\underset{n\to \infty }{\lim }|\Vert x_n\Vert -\Vert x\Vert |=0$. 由范数的性质, 有
$$|\Vert x_n\Vert -\Vert x\Vert |\le \Vert x_n-x\Vert$$
命题显然成立.

• 赋范空间中的加法和数乘运算连续. 即: 若 $x_n\to x,y_n\to y$, 则 $x_n+y_n\to x+y$; 若 $x_n\to x$, 则 $\alpha x_n\to \alpha x$

$$\Vert x_n+y_n-x-y\Vert \le \Vert x_n-x\Vert +\Vert y_n-y\Vert \to 0,n\to \infty$$

$$\Vert \alpha x_n-\alpha x\Vert \le \alpha \Vert x_n-x\Vert \to 0,n\to \infty$$