matlab实现线性参数的最小二乘法处理

一、实验目的

      最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法。通过实验要求掌握最小二乘法基本原理、正规方程以及组合测量的最小二乘法处理办法。

二、实验原理

（1）测量结果的最可信赖值应在残余误差平方和为最小的条件下求出，这就是最小二乘法原理。即

                                   

 （2）正规方程最小二乘法可以将误差方程转化为有确定解的代数方程组（其方程式的数目正好等于未知数的个数），从而可求解出这些未知参数。这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程。

 （3）精度估计为了确定最小二乘估计量x1、x2.......xt的精度，首先需要给出直接测量所得测量数据的精度。测量数据的精度也以标准差来表示。因为无法求得的真值，只能依据有限次的测量结果给出的估计值，所谓精度估计，实际上是求出估计值。 

 （4）组合测量是通过直接测量待测参数的各种组合量，然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计量，并给出其精度估计。

三、实验内容

如下图所示已知直接测量刻线的各种组合量，要求检定刻线A、B、C、D间距离x1、x2、x3，测量数据的标准差以及估计量精度估计。

L1=2.018mm 、L2=1.986mm、L3=2.020mm、L4=4.020mm、L5=3.984mm、L6=6.030mm

 四、实验要求

1、实验程序

根据最小二乘法原理利用matlab编写程序。

clc
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L = [2.018;1.986;2.020;4.020;3.984;6.030]; %直接测量的数据L
A = [1 0 0;0 1 0;0 0 1;1 1 0;0 1 1;1 1 1]; %正规方程的矩阵形式
X = inv(A'*A)*A'*L;  %待测量Ｘ的无偏估计
 
V1 = L(1)-X(1);
V2 = L(2)-X(2);
V3 = L(3)-X(3);
V4 = L(4)-X(1)-X(2);   %根据图示X与L的关系求出残差
V5 = L(5)-X(2)-X(3);
V6 = L(6)-X(1)-X(2)-X(3);
 
V = V1*V1+V2*V2+V3*V3+V4*V4+V5*V5+V6*V6;    %求出残差之和
B = sqrt(V/(6-3));        %根据公式算出测量数据L的标准差
D = diag(inv(A'*A));     
Q = B*sqrt(D);     %精度估计

2、运行结果

给出程序运行结果，包括估计量的值，测量数据的标准差以及估计量的精度估计。

3、总结

1、最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

2、对测量数据的最小二 乘 法 处 理 ，其最终结果不仅要给出待求量的最可信赖值 ， 还要确定其 可信赖程度 ， 即估计其精度 。 具体内容包含有两方面 ： 一是估计直接测量结 果， 二是估计待求量的精度 。

3、最小二乘法的应用范围很广，本次实验触及的还只是冰山一角，但是也为后续学习做了探路先锋。希望能在后续课程中更深层次的认识，并且应用最小二乘法。