【证明】若向量组线性相关，则向量组的线性映射也线性相关

前置定义 1　给定向量组 $A:{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m$，如果存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，使
$$k_1{\mathbf{a}}_1+k_2{\mathbf{a}}_2+\cdots k_m{\mathbf{a}}_m=0$$
则称向量组 $A$ 是 线性相关 的，否则称它 线性无关。

证明见 “向量组的线性相关性”。

前置性质 2　若 $\mathbf{\beta }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m$，则 $T(\mathbf{\beta })=k_{1}T({\mathbf{\alpha }}_1)+k_{2}T({\mathbf{\alpha }}_2)+\cdots +k_{m}T({\mathbf{\alpha }}_m)$。

证明见 “【证明】线性映射不影响向量组的线性组合”。

---

性质 1　若 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性相关，则 $T({\mathbf{\alpha }}_1),T({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,T({\mathbf{\alpha }}_m)$ 亦线性相关。

证明　根据前置定义 1，因为 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性相关，所以存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，使
$$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m=0$$
不妨设 $k_1\ne 0$，于是上式可以写成
$$k_1{\mathbf{\alpha }}_1=-k_2{\mathbf{\alpha }}_2-k_3{\mathbf{\alpha }}_3-\cdots -k_m{\mathbf{\alpha }}_m$$
即
$${\mathbf{\alpha }}_1=-\frac{k_2}{k_1}{\mathbf{\alpha }}_2-\frac{k_3}{k_1}{\mathbf{\alpha }}_3-\cdots -\frac{k_m}{k_1}{\mathbf{\alpha }}_m$$
根据前置性质 2，有
$$T({\mathbf{\alpha }}_1)=-\frac{k_2}{k_1}T({\mathbf{\alpha }}_2)-\frac{k_3}{k_1}T({\mathbf{\alpha }}_3)-\cdots -\frac{k_m}{k_1}T({\mathbf{\alpha }}_m)$$
即
$$T({\mathbf{\alpha }}_1)+\frac{k_2}{k_1}T({\mathbf{\alpha }}_2)+\frac{k_3}{k_1}T({\mathbf{\alpha }}_3)+\cdots +\frac{k_m}{k_1}T({\mathbf{\alpha }}_m)=0$$
于是，存在不全为零的数
$$l_1=1,l_2=\frac{k_2}{k_1},l_3=\frac{k_3}{k_1},\cdots ,l_m=\frac{k_m}{k_1}$$
使
$$l_{1}T({\mathbf{\alpha }}_1)+l_{2}T({\mathbf{\alpha }}_2)+l_{3}T({\mathbf{\alpha }}_3)+\cdots +l_{m}T({\mathbf{\alpha }}_m)=0$$
根据前置定义 1，可知 $T({\mathbf{\alpha }}_1),T({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,T({\mathbf{\alpha }}_m)$ 线性相关。得证。